【正文】 磁共振成像（ Magic Resonance Imaging,MRI）在早期稱為核磁共振（ Nuclear Magic Resonance,NMR） 。通過這種方法可以了解離子在物體內(nèi)運動情況的分布，從而可以檢測到與生理相關(guān)的狀況。由于透射成像術(shù)中采用 X 射線，所以也叫 XCT。 圖 計算機斷層成像示意圖 CT 的分類 在投影重建的原理和方法的框架下，根據(jù)投影方式不同產(chǎn)生了不 同種類的CT 成像術(shù)。經(jīng)數(shù)字 /模擬轉(zhuǎn)換器（ digital/analog converter）把數(shù)字矩陣中的每個數(shù)字轉(zhuǎn)為由黑到白不等灰度的小方塊，即像素（ pixel），并按矩陣排列，即構(gòu)成 CT 圖像。在某些情況下，CT 還能區(qū)別病變的病理特性如實性、囊性、 血管 性、炎性、鈣性、 脂肪 等。在短短 10余年間， CT 已遍及全球，從第一代發(fā)展到第五代。 CT(電子 計算機體層成像 )是 70 年代初放射診斷的 項重 突破， CT 不是 X線攝影，而是用 X 線對 人體 掃描（圖 所示），取得 信息 ,經(jīng)電子計算機處理而獲得的 重建 圖像 它能使 傳統(tǒng) 的 X 線檢查難以顯示的 器官 及其病變顯示成像，而且圖像逼真， 解剖 關(guān)系明確，從而擴大了人體的檢查范圍，大大提高了病變的早期檢出率和診斷準確率。最后在 ART 算法基礎(chǔ)上采用全差分對重建圖像進行優(yōu)化，圖像質(zhì)量有了明顯提高。發(fā)現(xiàn)圖像重建的速度快，且重建的圖像與原圖的視覺相似度接近 1。醫(yī)學(xué) CT 普遍采用解析成像技術(shù)，這主要因為醫(yī)用 CT 可以采集到完整的投影數(shù)據(jù)。 CT 圖像重建是 CT 技術(shù)的核心，重建算法的優(yōu)劣直接關(guān)系到對檢測結(jié)果判斷的準確性。 ，用計算機模擬了解析法的 圖像重建。接著用 SIRT 算法重建圖像，這種算法所得的圖像比 ART 算法較好。于是，美國與 英國 的科學(xué)家開始了尋找一種新的東西來彌補用 X 線技術(shù)檢查人體病變的不足。 CT 最初只用于頭部檢查， 1974 年又出現(xiàn)了全身的 CT。 CT 最適于查明占位 性病 變?nèi)缒[瘤 、囊腫、增大的 淋巴結(jié) 、 血腫 、 膿腫 和肉芽腫的大小、 形態(tài) 、 目和侵犯范圍，它可以決定某些器官癌腫的分期和是否能進行 手術(shù) 切除。掃描所得信息經(jīng)計算而獲得每個體素的 X 線衰減系數(shù)或吸收系數(shù)，再排列成 矩陣 ，即數(shù)字矩陣 （ digital matrix） ，數(shù)字矩陣可存貯于磁盤或 光盤 中。 第一章緒論 2 如圖 所示。由于物體各部分對射線的吸收不同，所以接收器獲得的射線強度實際上反映了物體各部分對射線的吸收情況。 X— CT 成像原理如圖 所示： 圖 X射線 CT成像原理 第一章緒論 3 ⑵發(fā)射斷層成像 在發(fā)射斷層成像（ Emission Computed Tomography,ECT）系統(tǒng)中，發(fā)射源在物體內(nèi)部，一般是將具有放射性的離子注入物體內(nèi)部，從物體外檢測放射出來的量。 ECT 主要針對代謝過程的成像。如果把它們放在磁場中，它們會像陀螺在地球重力場中一樣在磁場中進動。通過控制所用的共振場信號和磁場強度，可每次檢測到沿透過目標中一條線的信號。由于它能夠很好的保留豐富的軟組織圖像，所以在腦功能研究上， MRI 勝過 ECT。常見的一個例子是雷達系統(tǒng)，其中的雷達圖是物體反射的回波所產(chǎn)生的。 應(yīng)該指出，上面介紹的各類 CT 的功能是相互補充而不是相互替代的 ]6[ 。所采用的物理測量系統(tǒng)包括放射源、檢測器 及配套的機械、電路設(shè)備。 ⑶圖像后處理，包括圖像去噪、銳化，特征提取以及圖像的存儲、壓縮和傳輸?shù)取? 第二章詳細介紹了 CT 圖像重建系統(tǒng)的基本原理，根據(jù) Beer 定理對斷層進行體素劃分，通過聯(lián)立方程組求解方程組的方式重建圖像。先講述了直接反投影重建算法，但由于直接反投影法存在圖像偽跡， 從而提出了濾波反投影重建算法。在實際應(yīng)用中，有時無法測得大量的投影，有時投影不是均勻的分布在 180 度或 360 度范圍內(nèi)。最后演示了一下迭代算法重建圖像的效果。用 X 射線發(fā)生器發(fā)出單色細束 X 射線，對成像對象進行投射，如圖 所 示。在 CT 技術(shù)中，組織對X 線的局部衰減特性被用于離散成像；而在通常的 X 線攝影術(shù)中，這種衰減信息則重疊在 X 線底片上。幾率也是輻射能量的函數(shù) ,因為從 X 線管產(chǎn)生的 X 線由全部能譜組成 ，具有“線衰減系數(shù) u ”的某種組織的衰減性質(zhì)是一第二章 CT 圖像重建的基本原理 7 個復(fù)雜的函數(shù)，隨著輻射情況的變化，它可以表現(xiàn)出不同的數(shù)值。 X射線通過每一個方塊的衰減為 dueII 101 ?? ，射線通過第二個方塊的衰減為dueII 212 ?? ，通過第 n 個方塊的衰減為 dunn neIII ??? ?？紤]到圍繞受檢體的一次掃描可以得到一個有關(guān)衰減系數(shù)的方程，如果將整個感興趣斷層都劃分為大小相等的小方塊，每個小方塊由于一個固定的衰減系數(shù)，這樣，上述單束射線環(huán)繞掃描得到的每個穿透強度值都可以形成一個關(guān)于衰減系數(shù)的方程。 值得說明的是，當(dāng)上圖中 0?d 時，投影 p 就是 dlluIIp ??? )()ln( 0 （ ） 式中，衰減系數(shù) )(lu 是隨路徑 l 連續(xù)變化的函數(shù)。所以 ，這種方法在后來的實際應(yīng)用中已不再使用，而是采用下一章將要介紹的反投影解析法。另外由逆 Radon 變換的推導(dǎo)給出了兩種常用的圖像解析重建法：濾波反投影法和卷積反投影法。通俗地講，所謂直接反投影，就是在對某體面一個方向的掃描完成后，以得到的投影為灰度值沿著掃描路徑經(jīng)過的體素回抹到體素對應(yīng)的像素上。即有偽跡。 根據(jù)信號與系統(tǒng)理論，對于圖 有： ),(**),(),( yxhyxuyxf ? （ ） 式中，兩個星號表示二維卷積 ]4[ 。為此提出了濾波反投影圖像重建法。 在介紹濾波反投影重建法之前先補充濾波反投影重建法要用到的數(shù)學(xué)知識和投影定理 —— 中心切片定理。 Radon 變換的意義在 于，只要知道了一個未知二維分布函數(shù)的所有方向上的線積分，那么就能夠求得該二維分布函數(shù)。若設(shè) ),( yxf 表示物體的一個二維斷層分布，通過 Radon 變換的到 f 沿不同方向直線的線積分相當(dāng)于得到物體不同方向的投影。域 ),( ?p 中的每個點對應(yīng)于空間域),( yx 中的一條直線，這里 ),( ?p 實際上就是《圖像分析》中直線的 Hough 變換 ]10[ 。將已知投影數(shù)據(jù)通過一個簡單的二維傅立葉反變換可以得到物體截面的一個評估。例如，在圖 中，如果 ),(st ,坐標系統(tǒng)為 ),( yx ,坐標系統(tǒng)旋轉(zhuǎn) ? ，式()定義的投影的傅里葉變換等于物體沿著一旋轉(zhuǎn)了 ? 角的直線的二維傅里葉變換。 通過將 ),( yx 坐標系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)得到 ),(st 坐標系統(tǒng)后，傅里葉切片定理可以得到更廣泛的應(yīng)用。傅里葉逆變換可以采用直角坐標系公式也可以采用極坐標公式： d ud vevuFyxf vyuxj )(2),(),( ???????? ?? ? （ ） ????? ??? ddeFyxf tj ]||),([),( 20? ????? （ ） 其中 ?? s i nc o s yxt ?? （ ） 但從多個一維傅立葉函數(shù)擬合二維傅立葉函數(shù)需要足夠精確的傅立葉空間插值。此算法源于中心切片定理，不僅極其準確而且保證了快速執(zhí)行的穩(wěn)定性。利用 ()式用視角 ? 處的投影的傅里葉變換 )(??S代替二維傅里葉變換 ),( ??F ，可以得到： ???? ??? ? ddeSyxf tj ]||)([),( 20 0? ??? （ ） 上式是濾波反投影重建的圖像表達式。例如：時域中的卷積等于頻域中的乘積。對濾波后的圖像投影數(shù)據(jù)進行反 Radon 變換得到重建圖像的方法就是 Radon 反變換重建法。 圖 采用各種不同的濾波器進行濾波反投影重建效果對比 第三章 CT 圖像解析重建算法 21 在圖像重建中，一般用視覺相似度 SSIM ]8[ 對圖像重建的效果進行評估。采用了不同的濾波器，相對于沒有濾波的情況，視覺相似度都很接近 1，說明與原圖比較接近，圖像質(zhì)量有了明顯的提高。這種方法對扇束投影的視角與每一扇束投影各射線間的增角有一定的約束條件。 第四章 迭代重建算法 22 第四章 迭代重建算法 迭代重建算法的思想原理 迭代重建算法的概念與前面講述的解析法最大的區(qū)別在于前者一開始就把連續(xù)的圖像離散化。像素模型對重建圖像的質(zhì)量好壞影響很大。然而在不可能獲取大量投影數(shù)據(jù)或者投影不均勻分布于180 或 360 之間情況下，迭代法是一個非常有效的方法。具體地講，此時穿過 ),( yx 平面的射線具有一定的寬度 ? ，為了說明這 一點在圖中用陰影加重了第 i 根射線，且每一根都是如此，絕大多數(shù)情況下射線寬度大約等于圖像像素單元的寬度。其值等于第 i 根射線穿過第 j 個像素所占部分的面積，如圖中所示。同時 M 往往具有與 N 同樣量級的數(shù)。這些方法是基于“投影法”的，最早被 Kaczmarz 提出 ]14[ ，此后由 Tanabe ]15[ 進一步闡明。當(dāng)這些方程組的唯一解存在的話，這些超平面的交點為一個點，這就是 ()式方程組的解。這一估計解是 N 維空間的一個點，以 ),. ..,( 002020 NxxxX ? 表示。當(dāng) 1?kX 投影到 ()式中的第 i 個等式所表示的超平面時，得到 kX 的過程可以用下面的數(shù)學(xué)方式表示 iii iiiii AAA yXAXX ? ????? 11 （ ） 式中 ),...,( 21 iNiii aaaA ? ，而 iii AAA 為? 與其自身的內(nèi)積。若 M 個超平面彼此成很小的夾角，則解的收斂速度較慢。 在 ()式基礎(chǔ)上發(fā)展了一系列其他的迭代重建法，很多都是其的近似表達。 現(xiàn)在講述有上述原理提出的迭代算法。這種方法是一種所謂的行的操作方法，因為每次迭代都要“掃過”矩陣 A 中所有的行。 Tanabe[Tanabe1971]證明了，若測量方程 ()是相合的，上述迭代算法收斂到 bAX? 的一個解 。通過改變從此系數(shù)和迭代次數(shù)來改善重建圖像的質(zhì)量。這種迭代重建算法被稱為同步迭代重建法 SIRT。 全差分迭代算法（ TV） 在上面 ART 的算法基礎(chǔ)上，再加一些約束條件形成的另一種算法 — TV（ total variation)算法。 迭 代重建算法的實現(xiàn)和對比分析 針對 和 介紹的幾種方法，本文進行了計算機模擬重建，采用的是自定義的 Sheep Logan 頭模型，大小為 128 128，如圖 。圖 和圖 是其他條件一樣但每個角度的射線條數(shù)不同的情況下采用 ART 迭代算法重建的圖像。 圖 SIRT各種算法的圖像對比 第四章 迭代重建算法 32 圖 barb 圖像 SIRT迭代重建 圖 mri 圖像 SIRT迭代重建 圖 cameraman 圖像 SIRT迭代重建 圖 cortex 圖像 SIRT迭代重建 第四章 迭代重建算法 33 如圖 、圖 、圖 、圖 所示。 圖 FBP、 ART、 SIRT以及 TV 算法重建圖像的比較 第四章 迭代重建算法 34 圖 圖像 peppersbw各種算法重建 圖像對比 圖 圖像 mri 各種算法重建圖像對比 圖 圖像 barb 各種算法重建圖像對比 圖 圖像 mri 各種算法重建圖像對比 圖 圖像 lena 各種算法重建圖像對比 如圖 、圖 、圖 、圖 、圖 所示，它們重建的條件如表 所第四章 迭代重建算法 35 示。 第四章 迭代重建算法 36 表 各種算法重建誤差、相似度及時間比較 重建算法 迭代 次數(shù) 誤差 相似度 迭代時間（秒） e d f SSIM ART 算法 kaczmarz 10 symkaczmarz 10 randkaczmarz 10 kaczmarz 20 symkaczmarz 20 randkaczmara 20 SIRT 算法 Landweber 50 Cimmino 50 CAV 50 DROP 50 SART 50 各種算法比較 FBP —— —— ART 10 SIRT 10 TV 10 通過上述表格中各項數(shù)據(jù)的對比可以看出解析法圖像重建的速度比迭代法快很多。最先提出的是直接反投影重建法，但因為存在偽跡，且先反投影再濾波的話，需要二維濾波器對反投影數(shù)據(jù)進行濾波，二維濾波器不易實現(xiàn)。后來發(fā)現(xiàn)對于得到的濾波反投影重建的圖像表達式進行不同的數(shù)學(xué) 變形，將導(dǎo)致不同的物理解釋，于是