【正文】 ) (3)存在點 M,使得 ∠ AMN=∠ ACM. 設點 M的坐標為 (m,0),1m3, 則 MA=m(1)=m+1. 在 Rt△ AOC中 ,AC=? . ∵ MN∥ BC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ AN=? (m+1). ∵∠ AMN=∠ ACM,∠ MAN=∠ CAM,∴ △ AMN∽ △ ACM, 212 12 3212 12 9212 122 232 9210AMAN ABAC 1mAN? 410104∴ ? =? ,∴ (m+1)2=? (2)先利用勾股定理的逆定理判斷△ BCD為直角三角形 ,再分別求出 S1,S2,S3的值 ,進而得出結論 。 (2)點 P為線段 AB上方拋物線上的任意一點 ,過點 P作 AB的垂線交 AB于點 H,點 F為 y軸上一點 ,當 △ PBE的面積最大時 ,求 PH+HF+? FO的最小值 。后得到△ CF39。,過點 F39。BH+? PM( BH+EN) =? (t2+4tt)(31) =t2+3t. 當 t=? 時 ,△ PBE的面積取得最大值 ,此時點 P的坐標為 ? ,H的坐標為 ? . ∴ PH=? .? (5分 ) 過原點 O在 y軸左側作射線 OJ,使 ∠ COJ=30176。,∴∠ OKG=∠ CKH=60176。,∴∠ CHK=30176。=? ,KH=2CK=? . 12 1232323∴ OK=3? . 在 Rt△ GOK中 ,KG=? OK=? ? =? . ∴ HG=KG+KH=? +? =? . ∴ PH+HF+? FO的最小值為 PH+HG=? +? =? .? (8分 ) (3)存在 . 點 S坐標為 (5,3)或 (1,3+? )或 (1,3? )或 (1,8).? (12分 ) 詳解如下 (僅供參考 ): ∵ 直線 OJ的解析式為 y=? x,HG⊥ OJ,且 HG過點 H, ∴ 直線 HG的解析式為 y=? x+3? .∴ F? . 又 ∵ C(0,3),∴ CF=? . 在 Rt△ CQF39。=CF=? ,∠ QCF39。. 3212 12 33 2???????634?634? 3 6 3 34?12 346 3 34? 9 3 34?10 10333 32 30 , 3 2???????3232∴ CQ=? CF39。S2(5,3)。 ? ② 以 DQ為對角線 ,此時 S4(1,8). ? 2310 102.(2022貴州貴陽 ,25,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,點 A是反比例函數 y=? (x0,m 1)圖象上一點 ,點 A的橫坐標為 m,點 B(0,m)是 y軸負半軸上的一點 ,連接 AB,AC⊥ AB,交 y軸于 點 C,延長 CA到點 D,使得 AD= A作 AE平行于 x軸 ,過點 D作 y軸的平行線交 AE于點 E. (1)當 m=3時 ,求點 A的坐標 。設點 D的坐標為 (x,y),求 y關于 x的函數關系式和自變量的取值范圍 。由 (1)知 A(m,m2m),已知 B(0,m), 延長 EA交 y軸于點 N,如圖 . ∵ AE∥ x軸 ,DE∥ y軸 , ∴∠ DEA=∠ CNA=90176。. 當四邊形 ABDF是平行四邊形時 ,AF=DB, ∵ FQ∥ y軸 , ∴∠ HMF=∠ AFQ. ∵ AF∥ BD, ∴∠ HMF=∠ HBD,∴∠ AFQ=∠ DBH, ∴ Rt△ FQA≌ Rt△ BHD,∴ AQ=DH=2m,FQ=BH, ∴ 點 F的橫坐標為 3m,縱坐標為 ? m2? m1, ∴ FQ=? m2? m1(m2m)=? m2? m1. ∵ D(2m,m2m1),B(0,m), 14 1294 3294 32 54 12∴ BH=m2m1(m)=m21,∴ ? m2? m1=m21,解得 m=2或 m=0(舍去 ), ∴ 當 m=2時 ,以 A,B,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形 . 54 12方法指導 在第 (3)問中 ,利用平行四邊形的性質證明 Rt△ FQA≌ Rt△ BHD,得到 FQ=BH,用含 m 的代數式表示線段 FQ和 BH的長度 ,列方程求出 m的值 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)與直線 y=x+1相交于 A(1,0),B (4,m)兩點 ,且拋物線經過點 C(5,0). (1)求拋物線的解析式 。 ② 是否存在點 P使△ BEC為等腰三角形 ?若存在 ,請直接寫出點 P的坐標 。? (6分 ) 若 P在 A左側 ,則 PE=x+1+x24x5,ED=x1, ∵ PE=2ED,∴ x+1+x24x5=2(x1),解得 x1=2,x2=1,這種情況不存在 ,應舍去 。 當 x=4時 ,x2+4x+5=5,∴ P(4,5),這時 ,點 P、 E、 B重合 ,不符合題意 ,舍去 . 綜上所述 ,P1? ,P2(4+? ,4? 8),P3(4? ,4? 8),P4(0,5). 3 1 1 9,4 1 6??????13 13 13 134.(2022重慶 A卷 ,26,12分 )如圖① ,在平面直角坐標系中 ,拋物線 y=? x2? x? 與 x軸交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左側 ),與 y軸交于點 C,對稱軸與 x軸交于點 D,點 E(4,n)在拋物線上 . (1)求直線 AE的解析式 。 (3)點 G是線段 CE的中點 ,將拋物線 y=? x2? x? 沿 x軸正方向平移得到新拋物線 y39。經過點 D,y39。的對稱軸上 ,是否存在點 Q,使得△ FGQ為等腰三角形 ?若存在 , 直接寫出點 Q的坐標 。PH=? 4? 534, 3??????233 323 2 3,333t t t????????23,33tt???????233 323 2 3 333tt????????33 43312 1223 4 333tt????????=? t2+? t. ∵ ? 0,拋物線的開口向下 ,0t4, ∴ 當 t=? =2時 ,S△ PCE取得最大值 . 此時 ,點 P的坐標為 (2,? ).? (5分 ) ∵ 點 C(0,? ),B(3,0), ∴ K的坐標為 ? . ∵ yC=yP=? , ∴ PC∥ x軸 , 作 K關于 CP的對稱點 K1, 則 K1? . 233 8332338332323????????3333,22???????33 3 3,22???????∵ tan∠ OCB=? =? , ∴∠ OCB=60176。, ∴∠ OCD=∠ DCB=30176。 (2)求 A、 B兩點的坐標 。若不存在 , 請說明理由 . 解析 (1)∵ C1與 C2關于 y軸對稱 , ∴ C1與 C2的交點一定在 y軸上 ,且 C1與 C2的形狀、大小均相同 , ∴ a=1,n=3.? (2分 ) ∴ C1的對稱軸為直線 x=1. ∴ C2的對稱軸為直線 x=1. ∴ m=2.? (3分 ) ∴ C1:y=x22x3,C2:y=x2+2x3.? (4分 ) (2)令 C2中 y=0,則 x2+2x3=0. 解之 ,得 x1=3,x2=1. ∴ A(3,0),B(1,0).? (6分 ) (3)存在 .設 P(a,b),則 Q(a+4,b)或 (a4,b).? (7分 ) ① 當 Q(a+4,b)時 ,得 : a22a3=(a+4)2+2(a+4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=a22a3=4+43=5. ∴ P1(2,5),Q1(2,5).? (9分 ) ? ② 當 Q(a4,b)時 ,得 : a22a3=(a4)2+2(a4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=443=3. ∴ P2(2,3),Q2(2,3). 綜上所述 ,所求點的坐標為 P1(2,5),Q1(2,5)。以數 定形 ,求出方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)的兩實數根 ,便得到拋物線 y=ax2+bx+c與 x軸交點的橫坐標 .特 別地 ,一元二次方程 ax2+bx+c=m的解即為二次函數 y=ax2+bx+c當 y=m時的點的橫坐標 . (2)對于存在性問題的探究 ,一般是假設存在 ,按照存在的條件 ,結合題中的條件 ,得出結論 ,若得 到的結論與題中的條件矛盾 ,則不存在 ,存在性問題一般要分情況討論 . 思路分析 (1)由于拋物線 C C2關于 y軸對稱 ,因此兩條拋物線的交點在 y軸上 ,且 C1,C2的形 狀、大小均相同 ,可得 a,n的值 ,由 C1,C2的對稱軸關于 y軸對稱可得 m的值 。 (2)如圖 1,過定點的直線 y=kxk+4(k0)與拋物線 L交于點 M、 △ BMN的面積等于 1,求 k的值 。( xNxM)=xNxM. ∴ xNxM=1. 由 ? 得 x2+(k2)xk+3=0, ∴ xN=? ,xM=? . ∴ xNxM=? =1,∴ k=177。( yMyN)=1. ∴ ? k(xMxN)=1,即 xNxM=1.(以下同解法一 ) ? (3)依題意得 ,拋物線 L1的解析式為 y=x2+2x+1+m. ∴ C(0,1+m),D(2,1+m),F(1,0). 設 P(0,t), 4 ,0k k???????2 ,0k k???????121242kk?????????當△ PCD∽ △ FOP時 ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t2(1+m)t+2=0① 。 當 m=2時 ,點 P的坐標是 (0,1)和 (0,2). 2 2 220,3??????19 132 2 220,3??????2.(2022廣西南寧 ,26,10分 )如圖 ,已知拋物線經過原點 O,頂點為 A(1,1),且與直線 y=x2交于 B,C兩 點 . (1)求拋物線的解析式及點 C的坐標 。 (3)若點 N為 x軸上的一個動點 ,過點 N作 MN⊥ x軸 ,與拋物線交于點 M,則是否存在以 O,M,N為頂 點的三角形與△ ABC相似 ?若存在 ,請求出點 N的坐標 。. ∴∠ ABC=∠ CBF+∠ ABE=90176。. 當 ? =? 時 ,△ ABC∽ △ MNO, 或當 ? =? 時 ,△ ABC∽ △ ONM. ∵ AB=? ,BC=3? , 2211? 2 2233? 2 2224? 52 2 5ABBC MNNOABBC ONNM2 2∴ ? =? ,∴ ? 的值等于 ? 或 3.? (6分 ) 設點 N的坐標為 (a,0),則點 M的坐標為 (a,a2+2a),分三種情況討論 : ① 當點 M在第一象限時 ,ON=a,MN=a2+2a, 當 ? =? 時 ,解得 a1=0(舍去 ),a2=1(舍去 ), 當 ? =3時 ,解得 a3=0(舍去 ),a4=? ,∴ N1? 。 ③ 當點 M在第四象限時 ,ON=a,MN=a22a, 當 ? =? 時 ,解得 a9=0(舍去 ),a10=5,∴ N3(5,0), 當 ? =3時 ,解得 a11=0(舍去 ),a12=? ,∴ N4? . 綜上所述 ,存在 N1? ,N2(1,0),N3(5,0),N4? 使得以點 O,M,N為頂點的三角形與△ ABC相似 . ABBC 13NOMN 132 2aaa?? 132 2aaa?? 53 5 ,03??????2 2aaa?? 132 2aaa?? 532 2aaa? 132 2aaa? 73 7 ,03??????5 ,03?????? 7 ,03??????? (10分 ) 解法二 :存在 .如圖 ,∵ 過點 N作 MN⊥ x軸于點 N,與拋物線交于點 M,∴∠ ABC=∠ MNO=90176。 ABBC MNNOABBC ONNM2 2 ABBC 132 2aaa?? 53 5 ,03??????② 當 ? =3時 ,解得 a3=0(舍去 ),a4=? ,∴ N2? 。 ④ 當 ? =? 時 ,解得 a7=0(舍去 ),a8=5,∴ N4(5,0). 綜上所述 ,存在 N1? ,N2? ,N3(1,0),N4(5,0)使得以點 O,M,N為頂點的三角形與△ ABC相似 . ? (10分 ) 2 2aaa?? 73 7 ,03??????2 2aaa?? 132 2aaa?? 135 ,03??????7 ,03??????考點四 二次函數在實際生活 (生產 )中的應用 1.(2022遼寧沈陽 ,15,3分 )如圖 ,一塊矩形土地 ABCD由籬笆圍著 ,并且由一條與 CD邊平行的籬 笆 EF分開 .已知籬笆的總長為 900 m(籬笆的厚度忽略不計 ),當 AB= m時 ,矩形土地 ABCD的面積最大 . ? 答案 150 解析 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB∥ CD,AB=CD,AD∥ BC,AD=BC, 又 ∵ EF∥ CD,∴ 四邊形 CDEF是平行四邊形 ,∴ EF=CD, 設 AB