【正文】 CM=? ? h=? . ∴ h=2,點 M即為拋物線上到 BC的距離為 2的點 , 1,2 4 2 ,abab???? ???2 ,31 .3ab? ????? ????23 132320x133232 3 ,22???????72 12 72 72∴ 點 M的縱坐標為 0或 4. 令 y=? x2? x=0, 解得 x1=0,x2=? , ∴ M1(0,0),M2? .? (6分 ) 令 y=? x2? x=4, 解得 x3=? ,x4=? . ∴ M3? ,M4? . 綜上所述 ,點 M的坐標為 (0,0)、 ? 、 ? 、 ? .? (8分 ) (3)∵ A(1,1),B(2,2),C? ,D(0,2), ∴ 易求得 OB=2? ,OA=? ,OC=? , 23 13121 ,02??????23 131 9 74? 1 9 74?1 9 7 ,44???????1 9 7 ,44???????1 ,02??????1 9 7 ,44???????1 9 7 ,44???????3 ,22???????2 252∠ AOD=∠ BOD=45176?！?AOC=45176?！?AOC=45176。 (2)點 P在對稱軸 l上 ,位于點 C上方 ,且 CP=2CD,以 P為頂點的二次函數(shù) y2=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象 過點 A. ① 試說明二次函數(shù) y2=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象過點 B。 ③ 如圖 2,已知 0m2,過點 M(0,m)作 x軸的平行線 ,分別交二次函數(shù) y1=(x2)(x4)、 y2=ax2+bx+c(a ≠ 0)的圖象于點 E、 F、 G、 H(點 E、 G在對稱軸 l左側(cè) ),過點 H作 x軸的垂線 ,垂足為點 N,交二次 函數(shù) y1=(x2)(x4)的圖象于點 △ GHN∽ △ EHQ,求實數(shù) m的值 . 解析 (1)(3,1).? (1分 ) (2)① ∵ 點 P在對稱軸 l上 ,位于點 C上方 ,且 CP=2CD, ∴ 點 P的坐標為 (3,2). ∵ 以 P為頂點的二次函數(shù) y2=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象過點 A, ∴ y2=2(x3)2+2(或 y2=2(x2)(x4)或 y2=2x2+12x16), ∴ 二次函數(shù) y2=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象過點 B.? (3分 ) (由對稱性說理相應給分 ) ② (3? ,1)或 (3+? ,1)或 (3,1).? (6分 ) (每個坐標給 1分 ) ③ 設過點 M平行于 x軸的直線交對稱軸 l于點 K,易證直線 l也是二次函數(shù) y2=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖 象的對稱軸 . 2 2? 設 N(n,0), ∴ HN=2(n2)(n4),QN=(n2)(n4), ∴ ? =? ,即 ? =? .? (7分 ) ∵ △ GHN∽ △ EHQ, ∴ ? =? =? . 由對稱性可知 :? =? .? (8分 ) 解法一 : 設 KG=t(t0),則 G的坐標為 (3t,m),E的坐標為 (32t,m), HNQN 21 HNHQ23HNHQHGHE 23KGKE 12由題意得 ,2(3t2)(3t4)=(32t2)(32t4)=m, ∴ t=177。? , ∴ EK=FK=? . 同理可得 ,GK=HK=? , 則 ? =? ,得 ? =? .? (9分 ) ∵ 0m2, 22221 m?1 m?422 m?4221mm?? 1242m? 1 m?∴ 實數(shù) m的值是 1.? (10分 ) 評析 本題為二次函數(shù)綜合題 ,考查了二次函數(shù)的頂點坐標、點是否在二次函數(shù)圖象上、相 似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì) .本題為壓軸題 ,屬難題 . 7.(2022揚州 ,27,12分 )農(nóng)經(jīng)公司以 30元 /千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售 ,為了得到日銷售 量 p(千克 )與銷售價格 x(元 /千克 )之間的關系 ,經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表 : (1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù) ,用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定 p與 x之間 的函數(shù)表達式 。當 x=45時 ,p=150。(x30a)=30x2+(2 400+30a)x45 0001 500a, 對稱軸為直線 x=? =40+? a, ① 若 a10,則當 x=45時 ,W取最大值 , Wmax=2 250150a2 430(不合題意 )。 (2)求矩形菜園 ABCD面積的最大值 . ? 解析 (1)設 AD的長為 x米 ,則 AB的長為 ? 米 . 依題意 ,得 ? =450. 解得 x1=10,x2=90. 因為 a=20,x≤ a,所以 x=90不合題意 ,舍去 . 故所利用舊墻 AD的長為 10米 . (2)設 AD的長為 x米 ,0x≤ a,則矩形菜園 ABCD的面積 S=? =? (x2100x)=? (x50)2+1 250. ① 若 a≥ 50,則當 x=50時 ,S最大 ,S最大 =1 250. ② 若 0a50,則當 0x≤ a時 ,S隨 x的增大而增大 . 故當 x=a時 ,S最大 ,S最大 =50a? a2. 綜上 ,當 a≥ 50時 ,矩形菜園 ABCD面積的最大值是 1 250平方米 。 (2)M(m,0)為 x軸上一動點 ,過點 M且垂直于 x軸的直線與直線 AB及拋物線分別交于點 P,N. ① 點 M在線段 OA上運動 ,若以 B,P,N為頂點的三角形與△ APM相似 ,求點 M的坐標 。, ∴ 若使△ BPN和△ APM相似 ,則需 ∠ NBP=90176。. 分兩種情況討論如下 : (i)當 ∠ NBP=90176。,NC=m,BC=? m2+? m+22=? m2+? m.∵∠ NBP=90176。,∴∠ ABO=∠ BNC. ∴ Rt△ NCB∽ Rt△ BOA.? (5分 ) ∴ ? =? ,∴ ? =? ,解得 m=0(舍去 )或 m=? . ∴ M? .? (6分 ) (ii)當 ∠ BNP=90176。和 ∠ BNP=90176。 ,一定要注 意端點的位置和坐標的符號 . 12 125.(2022北京 ,27,7分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 y=mx22mx+m1(m0)與 x軸的交點為 A,B. (1)求拋物線的頂點坐標 。 ② 若拋物線在點 A,B之間的部分與線段 AB所圍成的區(qū)域內(nèi) (包括邊界 )恰有 6個整點 ,結(jié)合函數(shù) 的圖象 ,求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)y=mx22mx+m1=m(x1)21. ∴ 拋物線的頂點坐標為 (1,1). (2)① 當 m=1時 ,拋物線的表達式為 y=x22x. 令 y=0,解得 x1=0,x2=2. ∴ 線段 AB上整點的個數(shù)為 3. ② 當拋物線經(jīng)過點 (1,0)時 ,m=? . 當拋物線經(jīng)過點 (2,0)時 ,m=? . 結(jié)合函數(shù)的圖象可知 ,m的取值范圍為 ? m≤ ? . 141919 146.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,邊長為 8的正方形 OABC的兩邊在坐標軸上 ,以點 C為頂點的拋物線 經(jīng)過點 A,點 P是拋物線上點 A,C間的一個動點 (含端點 ),過點 P作 PF⊥ BC于點 D,E的坐標分 別為 (0,6),(4,0),連接 PD,PE,DE. (1)請直接寫出拋物線的解析式 。 (3)小明進一步探究得出結(jié)論 :若將“使△ PDE的面積為整數(shù)”的點 P記作“好點” ,則存在多 個“好點” ,且使△ PDE的周長最小的點 P也是一個“好點” . 請直接寫出所有“好點”的個數(shù) ,并求出△ PDE周長最小時“好點”的坐標 . ? ? 備用圖 解析 (1)拋物線的解析式為 y=? x2+8.? (3分 ) (2)正確 .理由 : 設 P? ,則 PF=8? =? x2.? (4分 ) 過點 P作 PM⊥ y軸于點 M,則 PD2=PM2+DM2=(x)2+? =? x4+? x2+4=? . ∴ PD=? x2+2.? (6分 ) ∴ PDPF=? x2+2? x2=2.∴ 猜想正確 .? (7分 ) (3)“好點”共有 11個 .? (9分 ) 在點 P運動時 ,DE大小不變 ,∴ 當 PE與 PD的和最小時 ,△ PDE的周長最小 . ∵ PDPF=2,∴ PD=PF+2,∴ PE+PD=PE+PF+2. 當 P,E,F三點共線時 ,PE+PF最小 . 此時點 P,E的橫坐標都為 4. 1821,88xx???????? 21 88 x????????18221688 x????? ? ?????????164 12 221 28 x???????1818 18將 x=4代入 y=? x2+8,得 y=6. ∴ P(4,6),此時△ PDE的周長最小 ,且△ PDE的面積為 12,點 P恰為“好點” . ∴ △ PDE的周長最小時“好點”的坐標為 (4,6).? (11分 ) 【 提示 】△ PDE的面積 S=? x23x+4=? (x+6)2+ 8≤ x≤ 0,知 4≤ S≤ 13,所以 S的整數(shù)值有 1 0個 .由函數(shù)圖象知 ,當 S=12時 ,對應的“好點”有 2個 .所以“好點”共有 11個 . 1814 147.(2022山東濰坊 ,23,9分 )工人師傅用一塊長為 10 dm,寬為 6 dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長 方體容器 ,需要將四角各裁掉一個正方形 .(厚度不計 ) (1)在圖中畫出裁剪示意圖 ,用實線表示裁剪線 ,虛線表示折痕 。 (2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍 ,并將容器進行防銹處理 ,側(cè)面每平方分 米的費用為 ,底面每平方分米的費用為 2元 ,裁掉的正方形邊長多大時 ,總費用最低 ,最低為 多少 ? ? 解析 (1)如圖所示 : ? (2分 ) 設裁掉的正方形邊長為 x dm, 由題意可得 (102x)(62x)=12,? (3分 ) 即 x28x+12=0, 解得 x1=2或 x2=6(舍去 ).? (4分 ) 所以當長方體底面面積為 12 dm2時 ,裁掉的正方形的邊長為 2 dm.? (5分 ) (2)由題意得 ,102x≤ 5(62x), 所以 0x≤ .? (6分 ) 設總費用為 w元 ,由題意可知 , w=2x(164x)+2(102x)(62x)? (7分 ) =4x248x+120 =4(x6)224.? (8分 ) 因為該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x=6,開口向上 , 所以當 0x≤ ,w隨 x的增大而減小 , 所以當 x= ,w取最小值 ,wmin=25. 所以當裁掉的正方形邊長為 dm時 ,總費用最低 ,最低為 25元 .? (9分 ) C組 教師專用題組 考點 二次函數(shù)的應用 1.(2022遼寧沈陽 ,15,3分 )某商場購進一批單價為 20元的日用商品 ,如果以單價 30元銷售 ,那么 半月內(nèi)可銷售出 400件 .根據(jù)銷售經(jīng)驗 ,提高銷售單價會導致銷售量的減少 ,且銷售單價每提高 1 元 ,銷售量相應減少 20件 .當銷售單價是 元時 ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤 . 答案 35 解析 設銷售單價為 x元 ,半月內(nèi)的利潤為 y元 ,由題意知 y=(x20)[40020(x30)]=(x20)(1 00020 x)=20x2+1 400x20 000=20(x35)2+4 500. ∵ 200,∴ 拋物線開口向下 , ∴ 當 x=35時 ,y取得最大值 , 即銷售單價是 35元時 ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤 . 2.(2022江西 ,21,9分 )某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實施產(chǎn)業(yè)扶貧 ,幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚 .到了收獲 季節(jié) ,已知該蜜柚的成本價為 8元 /千克 ,投入市場銷售時 ,調(diào)查市場行情 ,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧 本 ,且每天銷售量 y(千克 )與銷售單價 x(元 /千克 )之間的函數(shù)關系如圖所示 . (1)求 y與 x的函數(shù)關系式 ,并寫出 x的取值范圍 。(2)根據(jù)“總利潤 =單件利潤 銷售量”列出函數(shù)解析式 ,并配方成頂點 式即可得出最大利潤 。(2)建立函 數(shù)關系式 。(4)確定自變量取值范 圍 。 (2)設計費能達到 24 000元嗎 ?為什么 ? (3)當 x是多少米時 ,設計費最多 ?最多是多少元 ? 解析 (1)∵ 矩形的周長為 16米 ,一邊長為 x米 , ∴ 其鄰邊長為 (8x)米 . ∴ S=x(8x)=x2+8x. 其中 ,0x8.? (3分 ) (2)能 .理由如下 : ∵ 設計費為每平方米 2 000元 , ∴ 當設計費為 24 000元時 ,面積為 24 000247。(2)根據(jù)設計費求 出面積 ,代入解析式能求出符合題意的邊長 ,所以答案是肯定的 。另一種是建立二次函數(shù)模型 ,列出二次函數(shù)關系式 ,整理成 頂點式 ,當二