【正文】 :在旋轉過程中 ,點 C在以點 O為圓心 ,OC為半徑的圓上 ,當點 A、 O、 C順次共線 ,且點 P與點 A重合時 ,PC取最大值 ,為 3。,∠ BAC=60176?！?α≤ 180176。 (2)當 AC落在 AN上時 ,設點 B,C的對應點分別是點 D,E. ①畫出旋轉后的 Rt△ ADE。 ③判斷 Rt△ ADE的斜邊 AD所在的直線與☉ M的位置關系 ,并說明理由 。,120176。與☉ M相切于 G, 連接 MG,MN,∴∠ AGM=90176。, 連接 AM,∴∠ GAN=2∠ MAN,在 Rt△ AMN中 ,MN=? ,AN=3, ∴ tan∠ MAN=? =? ,∴∠ MAN=30176。, ∵∠ BAC=60176。=180176。60176。 3MNAN 33當 AC與 AN重合時 ,AN與☉ M也相切 ,所以 α=120176。,AB=8,∴ AC=? AB=4, 根據旋轉可知 AC=AE=4, NE=AEAN=43=1, 在 Rt△ MFQ中 ,FQ=? =? =? , 故弦 PQ的長度為 2? . 21222MQ MF? 22( 3) 1? 22③ AD與☉ M相切 . 證明 :過點 M作 MH⊥ AD于 H,連接 MN,MA,則 MN⊥ AE,且 MN=? , 由 (1)知 ∠ MAN=30176。,∴∠ MAD=30176。,∴ MH=MN,∴ AD與☉ M相切 . (3)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AB=8,∴ AC=4, 連接 MN,在 Rt△ AMN 中 ,MN=? ,AN=3,∴ AM=2? , 33 3∴ ☉ M上的點到點 A的最大距離為 2? +? =3? 4, ∵ 邊 AC與☉ M有一個公共點 ,∴ AC和☉ M 相切或點 C在☉ M內 , ① AC與☉ M相切時 ,x是☉ M的半徑 ,∴ x=? , ②當點 C剛好落在☉ M上時 , 如圖 ,連接 C‘ M,AM,過點 M作 MG⊥ AC’ , 在 Rt△ C39。M2C39。=AG+C39。M2(4AG)2, 在 Rt△ AMG中 ,GM2=AM2AG2,∴ C39。就能得到圖形 .②先求出 NE的長 ,作 MF⊥ DE,在 Rt△ MFQ中 ,利用勾股定理可求出 QF,根據垂徑定理知 QF就是弦 PQ的一半 ,即可求出 PQ的長 .③過 M作 AD的垂線 ,垂足為 H,先判斷 ∠ MAN=∠ MAD,然后利用角平分線的性質定理可得 MN=MH 進而得解 .(3)分兩種情況 AC與☉ M相切或點 C在☉ M內部 ,利用勾股定理即可得出結論 . 三、與圓相關的平移與滾動問題 1.(2022秦皇島海港一模 ,25)如圖 ,在等邊△ ABC中 ,AB=3,點 O在 AB的延長線上 ,OA=6,且 ∠ AOE =30176。 (2)當☉ P過點 C時 ,求☉ P與線段 OA圓成的封閉圖形的面積 。 (4)當線段 OQ與☉ P只有一個公共點時 ,直接寫出 t的取值范圍 . ? 3解析 (1)連接 OC,∵∠ ABC=60176。, ∴ OE經過點 C,∠ ACO=90176。時 ,OP=? =2? (如圖 1). 所以 t=? =2. cos 30OB?3233 圖 1 當 ∠ BPO=90176。cos 30176。, ∴∠ OPF=120176。, ∴ 當點 P運動到 OC中點時 , ☉ P與 AC邊所在直線相切 , 92 334 92 2 7 316圖 4 此時 t=? . 當☉ P與 BC的邊所在直線相切時 ,切點為點 B(如圖 5). ∵∠ PBC=90176。sin 30176。, 3 3OPOCBQBC圖 6 ∴∠ QPC=∠ OCB=30176。,∠ ABC=60176。 (2)當點 E與點 H重合時 ,求半圓在 BC上截得的線段長 。,半圓與△ ABC重合部分的面積 =扇形 ODG的面積 +△ OCG的面積 =? ? π,設 BC與半圓相交的另一個點為 S,連接 OS, ∵ OS=OG,∴ △ OSG是等邊三角形 , ∴ 半圓與△ ABC重疊部分的面積 =扇形 OGS的面積 △ OGS的面積 =? 32? 32=? π? . 綜上 ,當 G落在△ ABC的邊上時 ,半圓與△ ABC重合部分的面積為 ? π+? 或 ? π? . (2)點 E與 H重合時 ,BH=8,OE=3,BO=5,設 BC交半圓于 R、 T,OP⊥ RT于點 P,則 PT=PR, 60360 34 3293494 92 32 934? 圖 4 ∵∠ CBE=30176。,OK=3,∴ KU=OU=? ? ,EU=3? ? , 作 KL⊥ MN于 L,可得 KL=EU, ∵∠ KCL=45176。, 3223222 2 2圖 6 ∵ OE=3,∴ tan 30176。當點 G落在 BC上時 ,重疊部分的面積 =扇形 OGS的面積 △ OGS的 面積 .(2)點 E與 H重合時 ,BH=8,OE=3,BO=5,作 OP⊥ RT,先求出 OP的長 ,然后利用勾股定理求得 PR,即可求出 RT的長 .(3)①當半圓與 AC相切時 ,設切點為 K,則 CK=CE,作 KU⊥ DE于 U,根據 CK= ? EU得解 。 (2)如圖 3,將這個圖形的頂點 A與等邊△ DEF的頂點 D重合 ,且 AB⊥ DE,DE=2π,將它沿等邊△ DEF的邊做無滑動的滾動 ,當它第一次回到起始位置時 ,求這個圖形在運動過程中所掃過的區(qū) 域的面積 。,? =?= ? , ∴ l? =l? =l? =? =π, ∴ 線段 MN的長為 l? +l? +l? =3π. (2)如圖 , ? 由題意知 ,AG⊥ AF,又 AB⊥ DE, 等邊△ DEF的邊長為 2π,等邊△ ABC的邊長為 3, ∴ S矩形 AGHF=2π3=6π, 易知 ∠ BAG=120176。,AD=? AC=? , ∴ OI=AI=? =? =? , ∴ 當它第 1次回到起始位置時 ,點 I所經過的路徑是以 O為圓心 ,OI為半徑的圓周長 , ∴ 當它第 n次回到起始位置時 ,點 I所經過的路徑長為 n? =2? nπ. 12 32cosADDAI?32c o s 3 0 ? 33 3思路分析 (1)先求出 ? 的弧長 ,繼而得出萊洛三角形的周長為 3π,即可得出 MN的長 。(3)先判斷出萊洛三角形的一 個頂點和 O重合旋轉一周點 I的路徑 ,再用圓的周長公式即可得出點 I所經過的路徑長 . AC︵一、與圓相關的翻折問題 教師專用題組 ,在☉ O中 ,AB為直徑 ,點 C為圓上一點 ,將劣弧 ? 沿弦 AC翻折 ,交 AB于點 D,連接 CD,如果 ∠ BAC=20176。 176。 176。, ∵∠ BAC=20176?！?BAC=90176。=70176。,又 ∠ ADC+∠ BDC=180176。,故選 B. AC︵ ABC︵思路分析 連接 BC,根據直角三角形兩銳角互余求出 ∠ B,再根據翻折的性質得到 ∠ ADC+∠ B =180176。,P是半徑 OB上一動點 ,Q是弧 AB上的一動點 . (1)當 P是 OB中點 ,且 PQ∥ OA時 (如圖 1),弧 AQ的長為 。恰好與半徑 OA相切于 C點 (如圖 2).若 OP=3,則 O到 折痕 PQ的距離為 . ? 解析 (1)? ,連接 OQ,∵ P是 OB中點 ,OB=4,∴ OP=2, ∵ PQ∥ OA,∴∠ BPQ=∠ AOB=90176。,∴∠ 2=∠ 1=30176。,連接 OO39。B、 O39。P,設 OO39。M,OO39。P=OP=3,點 O39。C=OB=4, ∵ 折疊后的弧 QB39。C⊥ AO, ∴ O39。B是矩形 , 在 Rt△ O39。B=? =2? , 231230 4180???23639。中 ,OO39。=? 2? =? , 即 O到折痕 PQ的距離為 ? . ? 224 (2 2)? 612 126 66思路分析 (1)連接 OQ,利用直角三角形直角邊是斜邊的一半 ,則這條直角邊所對的銳角為 30176。,再利用弧長公式計算得解 .(2)先找點 O關于 PQ的對 稱點 O39。、 O39。C、 O39。B是矩形 ,利用勾股定理求得 O39。的長 ,則 OM=? OO39。到 AP39。. 發(fā)現 :無論點 P在圓 D上的什么位置 ,BP39。的長是 . 思考 :(1)△ APD的最大面積是 。之間的最小距離是 。的度數是 . 探究 :當 AP與圓 D相切時 ,求△ CDP39。=AP,∠ PAP39。,∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ BC=AB=AD=5,∠ BAD=90176。=∠ PAP39。,即 ∠ BAP39。和△ ADP中 ,? ∴ △ ABP39。=DP=3. 思考 : (1) PD⊥ AD時 ,如圖所示 : 39。,