最值不等式題的求解通法-在線瀏覽
2025-07-25 19:59本頁面
【正文】 最大值．改寫為不等式證明題，就得到問題41：設(shè)，且，求證：.證明：將條件等式變形為，即：，應(yīng)用2元和3元均值不等式，得即：，化簡，便得 經(jīng)分析易知，當(dāng)時(shí)，如上的不等式取得等號. 同樣的道理，從變量的個(gè)數(shù)方面加以深化，我們可以提出如下的類似：問題42：設(shè)，且，求證：.思考5 ：2006年英國數(shù)學(xué)競賽試題：問題51：已知為正實(shí)數(shù)，求證：. （1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立. 不等式（1）的一種有趣的加強(qiáng)結(jié)果.問題52：已知為正實(shí)數(shù)，求證：. （2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立. 證明：若中，其值有為零的，不等式（2）顯然成立．下面證明，當(dāng)三者都不為零的情景．1）若三者里只有一個(gè)為正值，不妨設(shè)為這時(shí)，應(yīng)當(dāng)有，推出，顯然與條件相矛盾。（2）同理可得，時(shí)，有。說明 此題若對①、②、③用不等式處理，由，只能得出，得不出。解 （1）設(shè)，有，①，②（把①，②代入），③有。當(dāng)時(shí)，可解得，故得。2 方法的應(yīng)用例3 設(shè)，且，求。說明 此解法中的③式正是②式的簡寫，又由題目中已給出。時(shí)，α可取到最大值15176。B=60176。－A=A－B=B－C=15176。時(shí)，α可取到最大值15176。B=60176。從而消去A，B，C，可設(shè)，得取，從而。分析：這個(gè)問題可以改寫為求首先，由α為最小者有 ①引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。－A中的最小者。例2．已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足ABC。第3步，解不等式得?？偨Y(jié)：由上面的分析和求解過程，可以得出這類問題的可操作步驟，分三步說明如下。即。證明：設(shè)，有，②，③。即a=0，b=時(shí)。得。為使其消去a,b，令方程組有無窮解，我們?nèi)∫粋€(gè)。分析：若將求證式左邊用字母x來表示，則問題便轉(zhuǎn)化為對比條件與結(jié)
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