最值不等式題的求解通法(已修改)
2025-06-19 19:59 本頁面
【正文】 一類最值不等式問題的求解通法羅增儒有一類最值不等式問題，可以一般地表示為：求證：有的地方也將其表示為雙重最值的形式：這類問題求解思路靈活，文[1]給出的多種解法主要涉及分類討論和反設(shè)歸謬，本文要提供的是一種直接求解的思路，只用到設(shè)元、消元運(yùn)算，且具有明顯的可操作性。方法的示例例1．試證對任意的，有。分析：若將求證式左邊用字母x來表示，則問題便轉(zhuǎn)化為對比條件與結(jié)論的差異知（差異分析法），應(yīng)消去a,b，得出關(guān)于x的不等式。怎樣消去a,b成為問題的關(guān)鍵，此處用加減消元法，其加減運(yùn)算中的系數(shù)可用待定系數(shù)法來確定，由絕對值的定義，有 ①引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。為使其消去a,b，令方程組有無窮解，我們?nèi)∫粋€。可把①變?yōu)橄嗉?。得。由這個分析過程我們還看到，因為方程組有解a=0。即a=0，b=時。思路打通之后，求解過程的書寫可以簡化。證明：設(shè)，有，②，③。④②＋③＋2④，得，得。即。其中③式的運(yùn)算背景是?？偨Y(jié)：由上面的分析和求解過程，可以得出這類問題的可操作步驟，分三步說明如下。第1步，設(shè)，得不等式組第2步，消去a,b，得出關(guān)于x的不等式。第3步，解不等式得。其中第2步是關(guān)鍵，可以根據(jù)的結(jié)構(gòu)而采用加減消元法，代入消元法，乘除消元法，不等式放縮消元法等。例2．已知銳角△ABC的三個內(nèi)角滿足ABC。用α表示A－B，B－C以及90176。－A中的最小者。則α的最大值是__________。分析：這個問題可以改寫為求首先，由α為最小者有 ①引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。為了能用到A＋B＋C=180176。，從而消去A，B，C，可設(shè)，得取，從而。由①有 ②相加又當(dāng)①中各式取等號時，有，得A=75176。，B=60176。，C=45176。時，α可取到最大值15176。解 由已知條件有
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