最值不等式題的求解通法(編輯修改稿)
2025-07-04 19:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 題12：已知： 證明不等式：證明：先證右不等式，利用2元均值不等式，得再證左不等式所以：容易說明，上述不等式中的等號(hào)是不能成立的.思考2：筆者曾為2007年陜西高中數(shù)學(xué)預(yù)賽命制了如下題目：?jiǎn)栴}21：已知，求證：如果將這個(gè)問題深化為4個(gè)字母的情景，就有如下的問題22：若，求證：．證明：易證，函數(shù)在上是遞減函數(shù)，在上是遞增函數(shù)．于是，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，即有：． ?。?）由，知，所以，對(duì)不等式（1），得，即：，同理：，．將4個(gè)不等式疊加，得：．分析得知，不等式取等號(hào)的條件是：，或者．思考3：第十七屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二第2試的第3題為：?jiǎn)栴}31：設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為和，斜邊長為，斜邊上的高為，則和的大小關(guān)系是（ ）A． B． C． D．不能確定從直角三角形，聯(lián)想到鈍角三角形，進(jìn)而得到：?jiǎn)栴}32：設(shè)的三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊長分別為、且，邊上的高為，求證：思考4 2008西部數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，有這樣一道最值題目：設(shè)，且，求的最大值．改寫為不等式證明題，就得到問題41：設(shè)，且，求證：.證明：將條件等式變形為，即：，應(yīng)用2元和3元均值不等式，得即：，化簡(jiǎn)，便得 經(jīng)分析易知，當(dāng)時(shí)，如上的不等式取得等號(hào). 同樣的道理，從變量的個(gè)數(shù)方面加以深化，我們可以提出如下的類似：?jiǎn)栴}42：設(shè)，且，求證：.思考5 ：2006年英國數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：?jiǎn)栴}51：已知為正實(shí)數(shù)，求證：. （1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 不等式（1）的一種有趣的加強(qiáng)結(jié)果.問題52：已知為正實(shí)數(shù)，求證：. （2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 證明：若中，其值有為零的，不等式（2）顯然成立．
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