最值不等式題的求解通法(編輯修改稿)
2025-07-04 19:59 本頁面
【文章內容簡介】 題12：已知： 證明不等式：證明：先證右不等式，利用2元均值不等式，得再證左不等式所以：容易說明，上述不等式中的等號是不能成立的.思考2：筆者曾為2007年陜西高中數(shù)學預賽命制了如下題目：問題21：已知，求證：如果將這個問題深化為4個字母的情景，就有如下的問題22：若，求證：．證明：易證，函數(shù)在上是遞減函數(shù)，在上是遞增函數(shù)．于是，當或時，函數(shù)在上的最大值為，即有：． ?。?）由，知，所以，對不等式（1），得，即：，同理：，．將4個不等式疊加，得：．分析得知，不等式取等號的條件是：，或者．思考3：第十七屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高二第2試的第3題為：問題31：設直角三角形兩直角邊的長分別為和，斜邊長為，斜邊上的高為，則和的大小關系是（ ）A． B． C． D．不能確定從直角三角形，聯(lián)想到鈍角三角形，進而得到：問題32：設的三內角A、B、C對應的邊長分別為、且，邊上的高為，求證：思考4 2008西部數(shù)學競賽試題中，有這樣一道最值題目：設，且，求的最大值．改寫為不等式證明題，就得到問題41：設，且，求證：.證明：將條件等式變形為，即：，應用2元和3元均值不等式，得即：，化簡，便得 經分析易知，當時，如上的不等式取得等號. 同樣的道理，從變量的個數(shù)方面加以深化，我們可以提出如下的類似：問題42：設，且，求證：.思考5 ：2006年英國數(shù)學競賽試題：問題51：已知為正實數(shù)，求證：. （1）當且僅當時，等號成立. 不等式（1）的一種有趣的加強結果.問題52：已知為正實數(shù)，求證：. （2）當且僅當時，等號成立. 證明：若中，其值有為零的，不等式（2）顯然成立．
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