【正文】 則有 由柯西不等式，得設(shè)，則. 于是，只要證明：事實(shí)上 容易推出，所證不等式取得等號(hào)的條件是：為．經(jīng)過(guò)深入思考，可以類似證明該不等式的一個(gè)深化：?jiǎn)栴}82：設(shè)是實(shí)數(shù)，且滿足，求證：幾個(gè)不等式的共同背景幾個(gè)不等式的一個(gè)共同背景：，背景證明：（1983年瑞士數(shù)學(xué)奧林匹克）例1：在中，求證：. 證明：∵，同理， ，三式相乘即得原不等式.原型使用例2：設(shè)為三角形三邊長(zhǎng)，求證.證明：由三元均值不等式及例1， .例3：在中，求證：. 證明：由均值不等式及例1， .例4：在中，求證：. 證明：由均值不等式及例1， .代換變形例5．已知都是正數(shù)，求證：. 例6：（IMO41試題）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：. 證明：令，其中，則. ①不妨設(shè)，則，若，則①式顯然成立；若，則由例1，①式也成立；故原不等式得證.例7：設(shè)，且，證明：. 證明：對(duì)上例作變換，即得.例8：銳角中，求證：. 證明：在中有恒等式，∴，同理，令，∴，∴，即. 展開(kāi)變形例9：（1964年IMO6試題）設(shè)為三邊，證明：. 證明：∵兩邊之和大于第三邊.例10：（1992年加拿大競(jìng)賽題）設(shè)，證明：. 例11：（第9屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克）對(duì)正數(shù)，求證：.變形例12：設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：. 例13：設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：. 例14：設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：. （IMO25試題）證明：∵.例15：中，證明：證明：，且.歐拉不等式的新證：三角外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求證：.證明：∵，∴，，由例1知，∴，即. 16 。時(shí)，α可取到最大值15176