【正文】 方程大部分時候是一個非線性方程HWW方程的一個重要特點在于它同時適用于單個期權(quán)和期權(quán)組合，這是它優(yōu)于Leland模型的主要原因之一。這是因為組合中可能存在內(nèi)部互相保值的現(xiàn)象而無需進行保值操作，這樣，計算期權(quán)組合時需要考慮的交易成本會相應(yīng)減少，從而使得考慮了交易費用之后的單個期權(quán)價值之和并不等于整個組合的價值。在這里也可以體現(xiàn)交易成本的規(guī)模效應(yīng)性質(zhì)：組合規(guī)模越大，相互保值的可能性越大，從而大大減少交易費用。由于是期權(quán)價格曲線的二次偏導(dǎo)，這意味著對于期權(quán)的多方來說（無論是看漲還是看跌期權(quán)），始終存在；相反，期權(quán)的空方。 3. 期權(quán)多頭和空頭價值的不一致性 從以上分析可見，對于期權(quán)合約的多頭和空頭而言，如果考慮交易費用，期權(quán)的價值會因符號不同而不同。關(guān)于這一點，我們會在后面進一步講解。對式（）進行整理，我們發(fā)現(xiàn)，對于單個期權(quán)多頭，由于，HWW方程實際上是一個以 （）為波動率的BS公式；相反，由于單個期權(quán)的空頭，HWW方程則化為一個以 （）為波動率的BS公式。這實際上是Leland模型的基本結(jié)論。 式（）和（）顯示，當處于多頭情形時，考慮交易費用后的波動率要明顯小于實際波動程度。空頭時情況正好相反。 這種在BS公式中使用修正后波動率的辦法也可以推廣到期權(quán)組合，條件是期權(quán)組合中的值必須無論何時何地都總是保持同一個符號。對于很小的展開上式得： 代入歐式期權(quán)的表達式可得預(yù)期的交易費用為 其中定義同BS公式。三、 交易成本的其他模型HWW模型是比較完善的交易成本模型，但是其中也存在一些問題，經(jīng)濟學(xué)家和實際工作者對此做了進一步的修正。由于HWW模型是非線性的，一般情況下，都使用數(shù)值方法為其定價。2. 交易成本不是前述的簡單結(jié)構(gòu)，而是資產(chǎn)價格和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況。這時相應(yīng)的微分方程擴展為 （）注意式（）是非線性的。而在現(xiàn)實生活中，投資者采取的策略一般都是對價格變動進行持續(xù)的監(jiān)測，并給定一個風(fēng)險限度，當頭寸變動超過風(fēng)險限度時才進行保值調(diào)整。 Wilmott（1993） A. E. Whalley and P. Wilmott, “Option Pricing with Transaction Costs,” MFG Working Paper,Oxford, 1993.和Henrotte(1993) P. Henrott, “Transaction Costs and Duplication Strategies,” Working Paper, Standford University, 1993.都對這一情形進行了研究。投資者總是設(shè)定一個參數(shù)，投資組合的風(fēng)險要保持在此限度之內(nèi)，即 （）當和的變動超過式（）給定的寬度時，就需要進行組合的調(diào)整和再平衡。 Wilmott發(fā)現(xiàn)，一個考慮了和形如（）的交易成本結(jié)構(gòu)的微分方程為 這同樣是一個依賴于值的微分方程，是對BS微分方程的非線性修正。在現(xiàn)實世界中，這個假設(shè)顯然是無法成立的。換一個角度來看，假如波動率是常數(shù)，那么對于標的資產(chǎn)相同的一類期權(quán)，無論其執(zhí)行價格或到期時間有多大的差異，從它們的期權(quán)價格中推導(dǎo)出來的隱含波動率都應(yīng)該是大致相同的，否則就意味著期權(quán)市場存在著套利機會。從理論上說，這種套利行為的大量存在會使得不同期權(quán)品種所對應(yīng)的隱含波動率差異消失。也就是說，波動率并非常數(shù)，因而BS公式得到的期權(quán)價格并不完全符合現(xiàn)實。通過把波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)放在一起，實際從業(yè)人員構(gòu)造出一個波動率矩陣（Volatility Matrices），它是我們考察和應(yīng)用波動率變動規(guī)律的基本工具之一。一般來說，象是一個微笑的表情，波動率微笑因此而得名。為了解釋這一廣泛存在的現(xiàn)象，人們提出了一些理論，由于波動率微笑的具體形狀會隨著標的資產(chǎn)的不同而不同，而這些形狀往往可以在標的資產(chǎn)價格的概率分布中得到解釋，因此最具說服力的是“分布理論”。一般說來，波動率微笑有以下兩種常見模式：1. 貨幣期權(quán)的波動率微笑對于貨幣期權(quán)而言。為了與虛線表示的BS對數(shù)正態(tài)分布相區(qū)別，我們把它叫做隱含分布。我們可以從如下分析中看到這兩個圖是相互一致的。因此，隱含概率分布意味著更高的期權(quán)價格，從而得到更高的隱含波動率。低于的概率大于正態(tài)分布的情形。由于PCP公式的得到與資產(chǎn)價格概率分布無關(guān)，假設(shè)和分別代表期權(quán)的市場價值而和分別代表從BS公式得到的理論期權(quán)價值，那么，我們可以同時得到： 兩式相減得到 －＝－可見，具有相同的標的資產(chǎn)和到期日的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，它們的理論價格和市場價格之間的差異是等同的，這意味著它們所適用的隱含波動率將是一樣的。 貨幣期權(quán)的波動率微笑 貨幣期權(quán)的對數(shù)正態(tài)分布和隱含分布研究發(fā)現(xiàn)，貨幣期權(quán)的波動率微笑符合我們對匯率數(shù)據(jù)的實證結(jié)果。這是因為一種資產(chǎn)的價格為對數(shù)正態(tài)分布需要兩個條件：第一，資產(chǎn)波動率為常數(shù)；第二，資產(chǎn)價格變動連續(xù)平滑，沒有跳躍。匯率的波動率不是常數(shù)，而且匯率常常出現(xiàn)跳躍。實際上許多金融資產(chǎn)價格都具有以上兩個特征，從而使得它們對應(yīng)的隱含波動率也常常呈現(xiàn)“波動率微笑”，只是它們往往同時也受到其他因素的影響，使波動率的形狀發(fā)生了相應(yīng)的變化，如我們將在下面介紹的波動率偏斜。離到期時間越遠，跳躍和隨機波動率對波動率微笑的影響都會降低，因為時間越長，跳躍和隨機波動所造成的效果越可能被“平均化”，從而在價格的分布中幾乎看不到，因此到期日越遠，波動率微笑越不明顯，隱含波動率越接近常數(shù)。的波動率偏斜股票期權(quán)的波動率微笑則呈現(xiàn)另一種不同的形狀。當執(zhí)行價格上升的時候，波動率下降，而一個較低的執(zhí)行價格所隱含的波動率則大大高于執(zhí)行價格較高的期權(quán)。 股票期權(quán)的波動率微笑（偏斜） 股票期權(quán)的對數(shù)正態(tài)分布和隱含分布股票期權(quán)之所以會有偏斜的波動率微笑，一個可能的解釋與股市的“崩盤”有關(guān)。二、波動率期限結(jié)構(gòu)除了波動率微笑，期權(quán)交易者還常常使用波動率期限結(jié)構(gòu)。一般來說，不同的標的資產(chǎn)所表現(xiàn)出來的期限結(jié)構(gòu)具體形狀會有所不同，但它們大都具有以下兩個特點：，波動率大多表現(xiàn)出均值回歸（Meanreverting）。2波動率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時間的影響。因此，為了消除時間因素對波動率微笑的影響，一些交易者把波動率微笑定義為。由于，應(yīng)用這個公式意味著用來表示執(zhí)行價格與資產(chǎn)價格之間的關(guān)系，即期權(quán)的平價、實值或虛值狀態(tài)，再除以一個，從而使得資產(chǎn)的隱含波動率對時間的依賴程度大大降低，更好地反映執(zhí)行價格對波動率的影響。另一個方向是距離到期的時間，矩陣中的內(nèi)容是從BS公式中計算得到的隱含波動率。當必須為某個新的期權(quán)定價時，交易人員就從矩陣中尋找適當?shù)牟▌勇?。剩余有效期?zhí)行價格一個月三個月六個月一年兩年五年 波動率矩陣四、波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的意義和應(yīng)用波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。目前主要有兩種不同的策略：，即仍然以BS模型為基礎(chǔ)，但同時假定期權(quán)市場已經(jīng)認識到真實的波動率函數(shù)，考慮不同期權(quán)市場和期權(quán)品種所對應(yīng)的波動率矩陣，運用隱含波動率信息對BS公式作相應(yīng)的調(diào)整應(yīng)用。應(yīng)用這一策略時要非常小心，因為期權(quán)市場的隱含波動率具有一定的局限性：（1）這一隱含波動率可能是市場供求的影響結(jié)果而不完全是市場對波動率的預(yù)期，而我們難以對供求關(guān)系推動的和市場預(yù)期推動的波動率加以區(qū)分；（2）我們無法保證市場中的所有參與者都采用同一個定價模型。這時我們使用BS公式倒推出來的隱含波動率就可能具有誤導(dǎo)性。因此，在改良策略中我們使用BS模型具有一定的限制條件。這時我們必須在買賣奇異期權(quán)的同時用這些交易活躍的期權(quán)進行相應(yīng)的套期保值，才能降低模型錯誤的風(fēng)險。對于那些對波動率變動很敏感的期權(quán)，僅僅使用改良策略可能具有較大的風(fēng)險，這時一些交易者傾向于采用新的模型來為期權(quán)定價。這就是我們在下一節(jié)將闡述的內(nèi)容。第四節(jié) 隨機波動率一、隨機波動率模型 在現(xiàn)實世界中，波動率顯然并非常數(shù)，而且無法直接在市場上觀測到，人們甚至發(fā)現(xiàn)波動率是無法預(yù)測的。因此，有必要考慮更一般的方法，即將作為隨機變量，建立隨機波動率模型。這時對函數(shù)和的選擇很重要，它不僅關(guān)系到波動率的確定，也對期權(quán)定價有重要影響。當然這時的模型往往非常復(fù)雜，常常無法得到解析解。下面我們介紹其中一些較為有名的波動率模型。顯然方差率本身是一個隨機過程，并以的速度回歸到水平。他們發(fā)現(xiàn)：隨機波動率確實會引起定價的偏差，而波動率和資產(chǎn)價格之間的相關(guān)性在其中相當重要。Hull和White發(fā)現(xiàn)BS公式傾向于高估平價或接近平價的期權(quán)價格，低估深度實值和深度虛值期權(quán)，這和上一節(jié)中波動率微笑模式一致（）。當波動率和股票價格負相關(guān)時，得到的結(jié)果類似于股票期權(quán)的波動率偏斜模式（）；當它們之間是正相關(guān)時，結(jié)果正好相反，BS模型傾向于低估虛值看漲期權(quán)而高估虛值看跌期權(quán)。我們在上一節(jié)曾經(jīng)提到，有效期越長，隨機波動率對波動率微笑的影響越不顯著，因為隨機變化會在長期中平均化。二、GARCH模型 另一個廣泛使用的波動率模型是廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）。即n時刻收益率對收益率均值的離差，可以看作是關(guān)于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估計值的基礎(chǔ)上，因而被稱為GARCH(1,1)。采用的形式，用最大似然估計法估計三個參數(shù)、和，可以進一步得到和的值，并可計算出特定時刻波動率的大小。根據(jù)，我們可以算出；進一步由于。，則因此，％。時刻的分配的權(quán)重為，即隨著時間往前推移，分配的權(quán)重是以速率指數(shù)下降的，越早的數(shù)據(jù)權(quán)重越小。比如，如果，那么的重要性就只有的90％，而的重要性更進一步下降到的81％。(1,1)模型預(yù)測未來的波動率 通過適當?shù)淖儞Q，我們可以將式（）寫作 由于，可得未來波動率的預(yù)期值為 由于我們設(shè)定，隨著的增加，以上式子中的最后一項會越來越小，這意味著方差率會呈現(xiàn)出向的均值回歸，這和我們前面所討論的隨機波動率模型具有相似的特點，也正是我們在波動率期限結(jié)構(gòu)中曾經(jīng)討論過的性質(zhì)。第五節(jié) 不確定的參數(shù) 考慮了紅利收益率的BS方程可以寫作。BS方程假定這些都是已知的，但現(xiàn)實世界并沒有那么完美。在這些變量和參數(shù)里面，和的不確定性是最強的，因此，現(xiàn)實生活當中存在著這樣的問題：當參數(shù)價值是不確定的時候，如何為期權(quán)定價？ 我們可以使用的一個方法是為這些參數(shù)再確定一個模型，將其與標的資產(chǎn)價格結(jié)合起來使用，比如我們之前介紹的關(guān)于隨機波動率的模型。因為實際上只有期權(quán)到期的時候，我們才能真正知道這些參數(shù)的正確值和遵循的路徑，再復(fù)雜精密的預(yù)測模型也有錯誤的風(fēng)險。 M. Avellaneda and A. Paras, “Managing the Volatility Risk of Derivative Securities: the Lagrangian Volatility Model,” Applied Mathematica