【正文】 第七章 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的擴展在第六章中，我們在一系列假定條件下推導(dǎo)得到了著名的布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式，在現(xiàn)實生活中，這些假設(shè)條件往往是無法成立的，本章的主要目的，就是從多個方面逐一放松這些假設(shè)，對布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式進行擴展。但是我們也將看到，在有些時候，模型在精確度方面確實獲得了相當?shù)母倪M，但其所帶來的收益卻無法彌補為達到改進而付出的成本，或是這些改進本身也存在問題，這使得布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式仍然在現(xiàn)實中占據(jù)重要的地位。第一節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型的缺陷在實際經(jīng)濟生活中，布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型（為簡便起見，我們后文都稱之為BS模型）應(yīng)用得非常廣泛，對金融市場具有很大的影響。其三個作者中的兩個更是曾經(jīng)因此獲得諾貝爾獎。因此，無論是從商業(yè)上還是從學(xué)術(shù)上來說，這個模型都非常成功。但是理論模型和現(xiàn)實生活終究會有所差異，對于大多數(shù)理論模型來說，模型假設(shè)的非現(xiàn)實性往往成為模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。本章的主要內(nèi)容，就是從多方面逐一放松BS模型的假設(shè)，使之更符合實際情況，從而實現(xiàn)對BS定價公式的修正和擴展。BS模型最基本的假設(shè)包括：1. 沒有交易成本或稅收。2. 股票價格服從波動率和無風(fēng)險利率為常數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布。3. 所有證券都是高度可分的且可以自由買賣，可以連續(xù)進行證券交易。4. 不存在無風(fēng)險套利機會。在現(xiàn)實生活中，這些假設(shè)顯然都是無法成立的。本章的后面幾節(jié)，將分別討論這些假設(shè)放松之后的期權(quán)定價模型。1. 交易成本的假設(shè)：BS模型假定交易成本為零，可以連續(xù)進行動態(tài)的套期保值，從而保證無風(fēng)險組合的存在和期權(quán)定價的正確性。但事實上交易成本總是客觀存在的，這使得我們無法以我們所希望的頻率進行套期保值；同時，理論上可行的價格，考慮了交易成本之后就無法實現(xiàn)預(yù)期的收益。我們將在第二節(jié)中介紹一些對這一假設(shè)進行修正的模型。2. 波動率為常數(shù)的假設(shè)：BS模型假定標的資產(chǎn)的波動率是一個已知的常數(shù)或者是一個確定的已知函數(shù)。這一點在標的資產(chǎn)價格的實證檢驗中被否定，期權(quán)市場本身反映的隱含波動率也提出了相反的證據(jù)。實際上波動率本身就是一個隨機變量。為了解決這個問題，人們從兩個角度來對BS模型進行修正：從期權(quán)價格的隱含波動率中獲取波動率的信息，來為期權(quán)定價；從標的資產(chǎn)市場出發(fā)獲取波動率變化過程的信息，對BS公式進行修正和擴展。我們將在第三節(jié)和第四節(jié)討論這個問題。3. 不確定的參數(shù)：BS模型假設(shè)波動率、利率、股利等參數(shù)都是已知的常數(shù)（或是已知的確定函數(shù)）。但事實上它們都不是一個常數(shù)，甚至也不是一個時間和標的資產(chǎn)價格的確定函數(shù)，波動率甚至完全無法在市場觀察到，也無法預(yù)測。這時可以采取的方法之一是為這些參數(shù)的價值確定一個變動區(qū)間，從而在最糟糕的情景下為期權(quán)定價。我們將在第五節(jié)介紹這一方法。4. 資產(chǎn)價格的連續(xù)變動：BS模型假定標的資產(chǎn)的價格是連續(xù)變動的，服從對數(shù)正態(tài)分布。然而在我們的市場中，不連續(xù)是常見的：資產(chǎn)價格常常跳躍，并且經(jīng)常是向下跳躍。這在對數(shù)正態(tài)分布的資產(chǎn)定價模型中并沒有體現(xiàn)出來：對于正態(tài)分布來說，這些突然變動的幅度太大，發(fā)生太過頻繁；同時，由于跳躍來得太突然，這使我們無法單純依靠對數(shù)正態(tài)擴散模型對它們進行動態(tài)保值。因此我們需要在模型中考慮跳躍的情形，同時我們也需要考察在極端變動的情況下，可能導(dǎo)致的最差結(jié)果。我們將在第六節(jié)和第七節(jié)中對跳躍擴散模型和崩盤模型進行分析，討論這些問題。第二節(jié) 交易成本BS期權(quán)定價公式的一個重要假設(shè)就是沒有交易成本，在此基礎(chǔ)上，BS公式的分析過程要求對股票和期權(quán)組合進行連續(xù)的調(diào)整再平衡，以實現(xiàn)無風(fēng)險定價策略。在實際生活中，這個假設(shè)顯然是難以成立的。即使交易成本很低，連續(xù)的交易也將導(dǎo)致很高的交易費用；即使只進行離散的保值調(diào)整，但只要進行交易，投資者就必須承擔或多或少的交易成本。一般來說，交易成本在以下兩種情形下是尤其重要的：1. 在一個交易費用很高的市場中進行保值操作，比如股票市場和新興證券市場。2. 組合頭寸經(jīng)常需要進行調(diào)整。其中包括處于平價狀態(tài)附近的期權(quán)和即將到期的期權(quán)，這樣的期權(quán)的套期比率對標的資產(chǎn)價格的變動最為敏感，從而導(dǎo)致調(diào)整頻率較高。所以，交易成本在期權(quán)價格的確定當中是不可忽略的部分。因此，人們對存在交易費用的情形進行了考察，并得到了基于BS公式的一些修正模型。 值得注意的是，在美國，主要的證券市場都實行專家（Specialists）或做市商(Marketmaker)制度，因此，這里的交易成本主要是指在標的資產(chǎn)買賣過程中發(fā)生的買賣價差（Bidoffer Spread）。一、 交易成本的影響分析交易成本的存在，會影響我們進行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價格：交易成本一方面會使得調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價成為一種近似；另一方面，交易成本也直接影響到期權(quán)價格本身，使得合理的期權(quán)價格成為一個區(qū)間而不是單個數(shù)值，同時許多理論上值得進行的策略，一旦考慮交易成本之后，就變得不可行。進一步來看，交易成本的影響具有以下兩個性質(zhì)：。不同的投資者需要承擔的交易成本是不一樣的，交易規(guī)模越大，成本的重要性程度越低。這就意味著與基本的BS定價公式相悖，現(xiàn)實世界中并不存在唯一的期權(quán)價值，而是有賴于投資者的具體情況，相同的合約對于不同的投資者具有不同的價值。，在調(diào)整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。為什么呢？這是因為交易成本對于保值者來說總是一種沉沒成本，無論是多頭還是空頭，對保值成本的估計都必須從期權(quán)價值中扣除。這樣一個投資者會認為多頭的價值低于BS公式理論價值，而空頭價值則應(yīng)高于理論價值。因此，交易成本的存在，實際上意味著動態(tài)保值不再產(chǎn)生期權(quán)價格的唯一均衡，而是會針對每一個投資者的不同頭寸都出現(xiàn)一個可行價格區(qū)間。在這個范圍內(nèi)波動的期權(quán)價格都無法進行套利，因為套利獲得的無風(fēng)險收益將被交易費用所抵消。當價格跌到這個區(qū)間的下限之外的時候，才存在利用期權(quán)多頭進行套利的機會，當價格漲到這個區(qū)間的上限之上的時候，才存在利用期權(quán)空頭進行套利的機會。我們將在后面對交易成本模型的描述中進一步闡述這些性質(zhì)。 二、 HoggardWhalleyWilmott交易成本模型交易成本模型最早是由Leland參見H. E. Leland, “Option pricing and replication with transaction costs,” Journal of Finance, 40 (1985), 12831301.在1985年提出的，他的主要結(jié)論是：可以用一個考慮了交易成本后的波動率代入BS公式得到期權(quán)價格，這個模型采用的策略和基本結(jié)論為后來的交易成本研究奠定了重要的基礎(chǔ)，但是具有一定的局限性?；诖?，Hoggard，Whalley和Wilmott三個人于1992年提出了一個考慮交易成本的期權(quán)組合定價模型（簡稱為HWW模型） 更詳細的推導(dǎo)和分析參見T. Hoggard, A. E. Whalley and P. Wilmott, “Hedging option portfolios in the presence of transaction costs,” Advances in Futures and Options Research, 7 (1994), 2135.，這個模型也是衍生工具理論中最早的非線性模型之一。Leland的結(jié)論同樣可以在HWW模型中得到解釋。（一） 基本思路HWW模型仍然采用推導(dǎo)BS微分方程時的無套利均衡的分析思路，采用無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)組合為代表來進行分析，但是現(xiàn)在的整個組合價值修正為原來的價值減去交易成本，而這個交易成本的計算則根據(jù)事先確定的保值調(diào)整策略和交易成本結(jié)構(gòu)進行，由此得到一個新的非線性偏微分方程，即考慮了交易成本之后的期權(quán)定價微分方程。（二） 基本假定HWW模型的主要假定基本與推導(dǎo)BS微分方程的假設(shè)相同，主要變量符號不變，只是做了如下修正，：第一， 投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個期權(quán)；第二， 整個投資組合的調(diào)整存在交易成本，交易成本結(jié)構(gòu)假設(shè)如下：買賣資產(chǎn)時的交易成本正比于所交易的資產(chǎn)價格，這樣如果買賣股（買入時0，賣出時0）價格為的股票，交易成本為，其中是取決于投資者個人具體成本情況的常數(shù)；第三， 投資者的組合調(diào)整策略事先確定：按照規(guī)定的時間長度進行調(diào)整，即每隔時間進行一次再平衡，這里的不再是無窮小的，不再求趨于0的極限，而是一個固定的很短的時間段；第四， 股票價格的隨機過程以離散的形式給出：，其中是一個服從標準正態(tài)分布的隨機變量；第五， 保值組合的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險銀行存款利率。（三） 推導(dǎo)過程無風(fēng)險組合包括一單位價值為的衍生證券組合多頭和 為了與業(yè)界習(xí)慣和本書其它章節(jié)統(tǒng)一，我們同時用表示無風(fēng)險組合中標的資產(chǎn)的數(shù)量以及變量的變化，如，請讀者注意區(qū)分。單位的標的資產(chǎn)空頭（價值為）。這里，為了消除組合中的不確定性，仍然要求。令代表整個投資組合的價值，則。 由于需要考慮交易成本，整個組合價值的變化會相應(yīng)減少： （） 其中由Ito引理求得。我們可以看到，實際上這就是第六章中的離散形式再減去一個交易成本項。 由無風(fēng)險套利假設(shè)，有 （） 要求交易成本項，關(guān)鍵在于獲得值，即為了保值需要買賣的資產(chǎn)數(shù)量。顯然： 即為經(jīng)過時間后持有的標的資產(chǎn)數(shù)量與期初持有數(shù)量之差。應(yīng)用Ito引理，的主要部分是 （） 將（）和（）代入（）中計算得到（我們簡稱為HWW方程）： （）其中是的期望值 推導(dǎo)過程如下：。（四） 對HWW方程的理解我們將HWW方程與BS微分方程進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，在考慮交易成本問題之后，我們得到了一個類似的偏微分方程，唯一的區(qū)別在于項。這一項具有十分重要的意義。1. 項在實際中具有深刻的金融含義首先，讓我們來考察項。我們知道，通過選定適合的，我們消去了資產(chǎn)價格變動導(dǎo)致的不確定性，但是因為期權(quán)組合價格對資產(chǎn)價格的函數(shù)是一條曲線而非直線，這個僅僅對很短的時間間隔成立，隨著資產(chǎn)價格的變化，如果繼續(xù)維持原先的保值比率，就不再是無風(fēng)險組合，這時如果不進行調(diào)整，就會出現(xiàn)“保值誤差”。而公式中的，又稱為，其含義是期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格的二階偏導(dǎo)，就是對保值誤差程度的衡量。由于存在保值誤差，就需要調(diào)整資產(chǎn)頭寸，因此很自然地它必然和預(yù)期的調(diào)整交易成本相聯(lián)系。其次，實際上可以分解為絕對值和資產(chǎn)價格的乘積，該項中的其他部分都是已知的，可以看作一個與具體交易成本相關(guān)的常數(shù)。因此，這整項確實體現(xiàn)了組合調(diào)整成本的影響，是BS公式中沒有的。值得注意的是，其中的是依賴于投資者個人特殊情形的常數(shù)，因此相應(yīng)的期權(quán)價格顯然將會隨著投資者情況的不同而不同。2. 的存在使得HWW方程大部分時候是一個非線性方程HWW方程的一個重要特點在于它同時適用于單個期權(quán)和期權(quán)組合，這是它優(yōu)于Leland模型的主要原因之一。在不考慮交易成本的時候，期權(quán)組合的價值是單個期權(quán)價值的線性加總；但是當存在交易費用時，這個線性關(guān)系就不再成立。這是因為組合中可能存在內(nèi)部互相保值的現(xiàn)象而無需進行保值操作，這樣，計算期權(quán)組合時需要考慮的交易成本會相應(yīng)減少，從而使得考慮了交易費用之后的單個期權(quán)價值之和并不等于整個組合的價值。因此，HWW方程是一個非線性