sxfx214第二類曲面積分-在線瀏覽
2025-06-24 18:14本頁面
【正文】 z? =( ） 分別為法向 n 的 正向與三個坐標軸的正向夾角，成立 c o s d d y d z?? ? ， c o s d d z d x?? ? ， c o s d d x d y?? ? ， 此即為兩類積分的轉換關系 ； 注 2 若記 1S ? 為取法向為 n? 的 曲面 S ，則 因 方向余弦都變號，有 1 SSA n d A n d?? ?? ? ? ??? ??． 注 3 若 S 為閉曲面，則第二類曲面積分記為 SI A n d ?????， 且若無特別聲明，總取外法向為正向 ． 三． 計算 化為二重積分計算 1. 在直角坐標系下： 若函數(shù) ( , , )R x y z 在 曲面 S : ,z f x y? （ ） , ,xyx y D?（ ）上連續(xù)，則 ( , , ) [ , , ( , ) ]xySDR x y z dx dy R x y f x y dx dy???? ??， 其中 “ ? ”視 S 的正側而定， ,2nz????( ） 時取正號， 2??? 時取負號．事實上 ， S 上點 ( , , )x y z 處的法向及其第三分量分別為 22( , , 1 )1xyxyzznzz?????? 與 2211c o s1xyzz? ?? ? ???， 當 ,2nz????( ） 時， c o s 1??? ， 1( c o s )d d x d y d x d y? ? ???? ，故 ( , , )S R x y z d x d y?? [ , , ( , ) ]xyD R x y f x y dx dy? ??； 同理，當 ,2nz????( ） 時的結論也不難得到． 同樣地，若函數(shù) ( , , )P x y z 在 曲面 S : ,x x y z? （ ） , ,yzy z D?（ ）上連續(xù)，則 ( , , ) [ ( , ) , , ]yzSDP x y z dy dz P x y z y z dy dz???? ??； 若函數(shù) ( , , )Q x y z 在 曲面 S : ,y y x z? （ ） , ,zxx z D?（ ）上連續(xù)，則 ( , , ) [ , ( , ) , ]zxSDQ x y z d z d x Q x y x z z d z d x???? ??． 也可一并計算：若 S : ,z f x y? （ ） , , xyx y D?（ ） ， 則由 c o s xd z d x d y?? ? ， c os yd z dx dy?? ? ， c o s d d x d y?? ?? ，
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