【正文】 （2）點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).　　思路點(diǎn)撥：本題求點(diǎn)的軌跡方程，點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，直線與橢圓相交等知識(shí).　　解析：　?。?）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x,y）.　　　　 當(dāng)x1≠x2時(shí)，可設(shè)直線l：y=k(xa)+b　　　　 由已知，……①　　　　 y1=k(x1a)+b,y2=k(x2a)+b…②　　　　 由①得(x1+x2)(x1x2)+(y1+y2)(y1y2)=0…③　　　　 由②得y1+y2=k(x1+x2)2ak+2b…④　　　　 由③、④及，得　　　　 點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y22axby=0……⑤　　　　 當(dāng)x1=x2時(shí)，l平行于y軸，　　　　 因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a,0），　　　　 顯然Q點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程⑤.　　　　 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程：2x2+y22axby=0.　　　　 設(shè)方程⑤所表示的曲線為L(zhǎng)，　　　　 則由，得（2a2+b2）x24ax+2b2=0　　　　 由于Δ=8b2(a2+1)，由已知a2+≤1　　　　 所以當(dāng)a2+=1時(shí)，Δ=0，　　　　 曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（a,b）.　　　　 當(dāng)a2+＜1時(shí)Δ＜0，曲線L與橢圓無交點(diǎn)，　　　　 而因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，　　　　 所以曲線L在橢圓C內(nèi).　　　　 故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y22axby=0.　?。?）由，解得或，　　　　 又由，解得或，　　　　 則①當(dāng)a=0,b=0,即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn).　　　　 曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)　　　　 ②當(dāng)a=0且0＜|b|≤時(shí),　　　　 即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí),　　　　 點(diǎn)(a,0)與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,b)與(0,0)　　　　 ③當(dāng)b=0且0＜|a|≤1時(shí)，　　　　 即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí),　　　　 曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)與(0,0).　　　　 ④當(dāng)0＜|a|＜1且0＜|b|＜時(shí),　　　　 即點(diǎn)P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí),　　　　 曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)(a,0),(0,b)與(0,0).　　總結(jié)升華：本題充分運(yùn)用了分類討論的思想方法,以及綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力,此題運(yùn)算量大,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,需要較高的運(yùn)算能力和邏輯推理能力,做為考題區(qū)分度好,特別是分類討論時(shí)易出錯(cuò).　　舉一反三：　　【變式1】討論k的取值，說明方程表示的曲線.　　解析：方程中x、y的平方項(xiàng)系數(shù)是否為0，是否相等決定著方程表示的曲線，　　　　　故需要對(duì)k值就以上情況分類討論.　　　　　當(dāng)k2=0即k=0時(shí)，方程化為，表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，開口向左的拋物線.　　　　　當(dāng)2k1=0即時(shí)，方程化為x(x8)=0　　　　　∴x=0或x=8，表示y軸和過點(diǎn)(8，0) 斜率不存在的兩平行直線.　　　　　當(dāng)k2=2k1,即k=1時(shí)，方程化為，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓 　　　　　當(dāng)k≠0，k≠1時(shí)　　　　　方程可化為　　　　　當(dāng)　　　　　方程表示焦點(diǎn)在平行y軸直線上，中心在的橢圓　　　　　當(dāng)時(shí)，方程表示以為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.　　【變式2】已知圓x2+y2=1和雙曲線(x1)2y2=1，直線l與雙曲線交于不同兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)恰是l與圓相切的切點(diǎn)，求直線l的方程.　　解析：當(dāng)l斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知：l方程為x=1　　　　　當(dāng)l斜率存在時(shí)設(shè)l方程為y=kx+b　　　　　由l與圓相切　　　　　l方程代入雙曲線整理得(1k2)x22(kb+1)xb2=0 (1k2≠0)，△＞0　　　　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中點(diǎn)為M　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　由AB⊥OM，整理得k2+1+2kb=0　　　　　將k2+1=b2代入　　　　　∴b2+2bk=0,b(b+2k)=0　　　　　∵b≠0，否則l過原點(diǎn)與圓不相切　　　　　∴b=2k，解方程組　　　　　得　　　　　經(jīng)檢驗(yàn)△＞0　　　　　∴l(xiāng)的方程為x=1或.高考沖刺：數(shù)形結(jié)合　　　　　　　　　　　編稿：林景飛　　　 審稿：張揚(yáng)　　　 責(zé)編：嚴(yán)春梅熱點(diǎn)分析高考動(dòng)向　　數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視。知識(shí)升華　　數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法?！　【唧w地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：　　（1）等價(jià)性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分　 　　　析容易出錯(cuò)；　　（3）簡(jiǎn)單性原則。3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：　?。?）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何；　　（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；　?。?）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：　　主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題　　1．已知，若的最小值記為，寫出的表達(dá)式?！　〗馕觯河捎?，　　　　　所以拋物線的對(duì)稱軸為，開口向上，　　　　?、佼?dāng)，即時(shí)，在[t，t+1]上單調(diào)遞增（如圖①所示），　　　　　　∴當(dāng)x=t時(shí)，最小，即。　　　　　　∴當(dāng)時(shí)，最小，即。　　　　　　∴當(dāng)x=t+1時(shí)，最小，即，　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　圖① 　　　　　　　　　　　圖② 　　　　　　　　　　圖③　　　　　綜合①②③得　　　　　。應(yīng)特別注意，對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應(yīng)抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行討論解決?！　∨e一反三：　　【變式1】已知函數(shù)在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值?！　　　?　　　∴1―a=2?！　　　　。?）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖（2）所示，　　　　 　　　當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即?！　　　?　　　∵0≤a≤1，∴不合題意?！　　　?　　　當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即?！　　　　【C合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2　　【變式2】已知函數(shù)?！　〗馕觯骸　　　　∪鐖D：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?）的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）　　　　?。?）當(dāng)a≤1時(shí)，　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，　　　　　　　 當(dāng)?！　〗馕觯骸　?1)若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx　　　 當(dāng)2≤x≤2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；　　　 若a≠0，假設(shè)，　　　 ∴區(qū)間[2,2]在對(duì)稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，　　　 ∴f(x)在[2，2]上是單調(diào)函數(shù)，　　　 （這是不可能的）　　　 　　(2)當(dāng)，時(shí)，　　　 ∵，所以，　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　?。▓D1） 　　　　　　　　　　　　（圖2）　　　 (1)當(dāng)即，時(shí)（如圖1），則　　　　　所以是方程的較小根，即　　　　　　　　 (2)當(dāng)即，時(shí)（如圖2），則　　　　　所以是方程的較大根，即　　　　?。ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立），　　　　　由于，　　　　　因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題　　2．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！　〗馕觯寒嫵龊偷膱D象，　　　　　當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。　　　　　誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對(duì)位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤?！　?．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把　 　　方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩　 　　個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解?！　∨e一反三：　　【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是 。　　　　　設(shè)（x∈－1，1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如圖：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根?！　〗馕觯簩⒃匠剔D(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的　　　　　交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答　　3．求函數(shù)的最大值和最小值　　思路點(diǎn)撥：可變形為，故可看作是兩點(diǎn)和的連線斜率的倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反解求解?！　∨e一反三：　　【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)?！　〗馕觯郝?lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解?！　　　　　　?∴|OC|=2?！　　　　。?）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率，　　　　　　　 設(shè)Q（1，2），過Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 將整理得kx―y+2―k=0?！　　　　。?）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，　　　　　　　 當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍，　　　　　　　 最值必在直線與圓C相切時(shí)取得?！　　　　　　?∴x―2y的最大值為，最小值為?！　〗馕觯骸　　　　ty看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A＇（1，－1），　　　　　則即為P到A，B距離之和的最小值，∴　　【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）　　A． 　　　B．或 　　　C． 　　　D．或　　解析：如圖　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，　　　　　則 ，即　　　　　下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　則 ，選C。4，b=3.　　　　　所以所求實(shí)數(shù)a=177?？忌芊裱杆?、準(zhǔn)確、全面、簡(jiǎn)捷地解好選擇題，成為得分的關(guān)鍵，并且直接影響到解答題的答題時(shí)間及答題的情緒狀態(tài).　　高考中數(shù)學(xué)選擇題屬小題，具有概括性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面寬、小巧靈活，有一定的綜合性和深度的特點(diǎn)?！　Z取高考數(shù)學(xué)試卷高分的關(guān)鍵就是：“準(zhǔn)”“快”“穩(wěn)”地求解選擇題。選擇題不設(shè)中間分，一步失誤，造成錯(cuò)選，全題無分，所以應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏；初選后認(rèn)真檢驗(yàn)，確保準(zhǔn)確。選擇題的結(jié)構(gòu)中包含著我們解題的信息源（特別注意４個(gè)選擇支也是已知條件）　　選擇題的求解策略　　充分利用題設(shè)和選擇項(xiàng)兩方面所提供的信息作出判斷，一般來說，能定性判定的，就不再使用復(fù)雜的定量計(jì)算；能使用特殊值判定的，也不必采用常規(guī)解法；能使用間接解法的，也不必采用直接解法；對(duì)于明顯可以否定的選擇項(xiàng)，應(yīng)及早排除，以縮小選擇的范圍；對(duì)于具有多種解題思路的，：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是從題干和選擇項(xiàng)聯(lián)合考慮或從選項(xiàng)出發(fā)探求是否滿足題干條件。經(jīng)典例題透析類型一：直接法　　直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)，運(yùn)用有關(guān)的概念、定義、公理、定理、性質(zhì)、公式等，使用正確的解題方法，經(jīng)過嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目中給出的選擇項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”，作出相應(yīng)的選擇，這種方法稱之為直接法?！　?．設(shè)是（－∞，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，則等于（ ）　　A． 　　　B．―　　　 C． 　　　D．―　　思路點(diǎn)撥：認(rèn)真分析題目已知，若能發(fā)現(xiàn)的周期性，即能看出，對(duì)解題將會(huì)帶來極大的方便?！　　　　∮帧邽槠婧瘮?shù)，且有當(dāng)0≤x≤1時(shí)，　　　　　∴?！　】偨Y(jié)升華：直接法解選擇題，它和解解答題的思路、程序方法是一致的，不同之處在于解選擇題不需要書寫過程，這就給我們創(chuàng)造靈活解答選擇題的空間，即在推理嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算準(zhǔn)確的前提下，可以簡(jiǎn)化解題的步驟，簡(jiǎn)化計(jì)算?！　∨e一反三：　　【變式1】設(shè)FF2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=90176?！　　　　　噙xA。排除法常常應(yīng)用于條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)一些已知條件，在選擇項(xiàng)中找出與其相矛盾的選項(xiàng)，予以排除，然后再根據(jù)另一些已知條件，在余下的選項(xiàng)中，再找出與其矛盾的選項(xiàng)，再予以排除，直到得出正確的選項(xiàng)為止?！　】偨Y(jié)升華：排除法一般是適用于不易用直接法求解的問題。認(rèn)真而又全面的觀察，深刻而又恰當(dāng)?shù)姆治?，是解好選擇題的前提，用排除法解題尤其注意，不然的話就有可能將正確選項(xiàng)排除在外，導(dǎo)致錯(cuò)誤?！　　　　　鄳?yīng)選D。則a的取值范圍是（ ）　　A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．　　解析：令a=1，則三邊為1，2，3，不能構(gòu)成三角形?！　　　　×頰=3，則三邊為3