【文章內(nèi)容簡介】 示的幾何意義往往是解題的關(guān)鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式的幾何意義：　?。?）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點間的距離；　?。?）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點連線的斜率；　?。?）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值?！　∨e一反三：　　【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點?！　。?）求的最大、最小值；　?。?）求的最大、最小值；　?。?）求x―2y的最大、最小值?！　〗馕觯郝?lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解?！　　　　。?）表示點（x，y）與原點的距離，　　　　　　　 由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1?！　　　　　　?∴|OC|=2?！　　　　　　?的最大值為2+r=2+1=3，　　　　　　　 的最小值為2―r=2―1=1?！　　　　。?）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，　　　　　　　 設(shè)Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 將整理得kx―y+2―k=0?！　　　　　　?∴，解得，　　　　　　　 所以的最大值為，最小值為?！　　　　。?）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，　　　　　　　 當(dāng)直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，　　　　　　　 最值必在直線與圓C相切時取得。這時，　　　　　　　 ∴?！　　　　　　?∴x―2y的最大值為，最小值為?！　　咀兪?】求函數(shù)的最小值?！　〗馕觯骸　　　　ty看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如圖，點A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點A＇（1，－1），　　　　　則即為P到A，B距離之和的最小值，∴　　【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）　　A． 　　　B．或 　　　C． 　　　D．或　　解析：如圖　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，　　　　　則 ，即　　　　　下面利用線性規(guī)劃的知識，則可看作可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）連線的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　則 ，選C。高考沖刺：轉(zhuǎn)化與化歸思想　　　　　　　　　　　　　編稿：林景飛　　　 審稿：張揚　　　 責(zé)編：嚴(yán)春梅熱點分析高考動向　　轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有相當(dāng)重要的地位，可以說比比皆是，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中.知識升華　　轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，“化歸”的過程，不斷地改變待解決的問題，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.1．轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循的原則　?。?）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和方法來解決.　　（2）簡單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，　 　　　或獲得某種解題的啟示和依據(jù).　?。?）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所呈現(xiàn)的和諧統(tǒng)一的形　 　　　式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.　　（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決.　?。?）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使　 　　　問題獲解.2．轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型　?。?）正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化，即正難則反，特殊化原則.　?。?）常量與變量的變化，即在處理多元問題時，選取其中的變量（或參數(shù)）當(dāng)“主元”，其他的變量　 　　　看作常量.　　（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即利用對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形性質(zhì)，也可利用圖形直觀提供思路，直觀地　 　　　反映函數(shù)或方程中的變量之間的關(guān)系.　　（4）數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化，如利用向量方法解立體幾何問題，用解析幾何方法處理平面幾何、代　 　　　數(shù)、三角問題等.　?。?）相等與不等之間的轉(zhuǎn)化，如利用均值不等式、判別式等.　?。?）實際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.3．常見的轉(zhuǎn)化方法　?。?）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.　?。?）換元法：運用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式　 　　　問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題.　?。?）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換、獲得　 　　　轉(zhuǎn)化途徑.　?。?）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化.　?。?）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.　?。?）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問題.　?。?）類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論.　　（8）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題.　　（9）一般化方法：當(dāng)原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且又較難解決時，可將問題通過一般化　 　　　的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化.　?。?0）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的.　?。?1）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即把命題的結(jié)論加強(qiáng)　　　　　為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個較易證明的命題，加強(qiáng)命題法是非等價轉(zhuǎn)化方　　　　　法.　?。?2）補(bǔ)集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題　　　　　的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集獲得原問題的解決.　　以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.經(jīng)典例題透析類型一：常量與變量的轉(zhuǎn)化問題　　1．已知二次方程ax2+2(2a―1)x+4a―7=0中的a為正整數(shù)，問a取何值時此方程至少有一個整數(shù)根.　　思路點撥：本題可以將原方程變?yōu)殛P(guān)于a的式子,根據(jù)a為正整數(shù)，得出x的取值，再代回去，求出a的值.　　解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，　　　　　∵x=―2不是原方程的解，∴，　　　　　又∵a為正整數(shù)，　　　　　∴，　　　　　解得－3≤x≤1，　　　　　又∵x是整數(shù)且x≠－2，∴x=―3，―1，0，1，　　　　　把它們分別代入原方程得，，　　　　　故當(dāng)a=1或a=5時，原方程至少有一個整數(shù)根.　　知識升華：解決本題易按求根公式，討論方程至少有一個整數(shù)根的條件，視a為主元，轉(zhuǎn)換思考的角度，使解法變得簡易.　　舉一反三：　　【變式1】已知a＞0且a≠1，若關(guān)于x的方程loga(x3)loga(x+2)loga(x1)=1有實根，求實數(shù)a的取值范圍.　　解析：要使原方程有意義，需，解得x＞3.　　　　　原方程化為：.　　　　　∴x3=a(x1)(x+2)在區(qū)間(3, +∞)上有解，　　　　　∴.　　　　　問題轉(zhuǎn)化為求右端在(3, +∞)上的值域，　　　　　即將a看作x的函數(shù)a(x).　　　　　由　　　　　　　，　　　　　∵x＞3, ∴x3＞0，　　　　　∴.　　　　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.　　　　　∴.　　　　　又∵x＞3時，a＞0, ∴, 　　　　　故a的取值范圍是.　　【變式2】設(shè)，若t∈[―2，2]時，y＞0恒成立，求x的取值范圍.　　答案：類型二：等價轉(zhuǎn)化　　2．已知函數(shù)的值域為[―1，4]，求實數(shù)a、b的值.　　思路點撥：設(shè)，∈[―1，4]時，關(guān)于x的方程有實數(shù)解.　　解析：∵的定義域為R，　　　　　故可等價轉(zhuǎn)化為yx2―ax+y―b=0.　　　　　令Δ=a2―4y(y―b)≥0，即4y2―4by―a2≤0，　　　　　則由題意可知，不等式4y2―4by―a2≤0的解集為[―1，4].　　　　　也就是―1，4是關(guān)于y的方程4y2―4by―a2=0的兩根.　　　　　∴，∴a=177。4，b=3.　　　　　所以所求實數(shù)a=177。4，b=3.　　總結(jié)升華：本題是利用函數(shù)、不等式與方程的關(guān)系一步一步地等價轉(zhuǎn)化使問題得以解決，常見的轉(zhuǎn)化類型有高次向低次的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，分式向整式的轉(zhuǎn)化，無理向有理的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化等.　　舉一反三：　　【變式1】已知奇函數(shù)在定義域（－1，1）上是減函數(shù)，且，求實數(shù)的取值范圍.　　答案：　　【變式2】若的圖象在（0，1）內(nèi)與x軸恰好有一個交點，則a的取值范圍為_______.　　解析：的圖象是直線，　　　　　在（0，1）內(nèi)與x軸恰有一個交點，　　　　　則，　　　　　則a＞3（當(dāng)a=0時不合題意）.　　【變式3】已知函數(shù)，滿足，求的最大值、最小值及取得最大值和最小值時對應(yīng)a，c的值.　　答案：，此時；，此時類型三：正面與反面的轉(zhuǎn)化問題　　3．已知非空集合A={x|x2―Amx+2m+6=0，x∈R}，若A∩R－≠，求實數(shù)m的取值范圍（R―表示負(fù)實數(shù)集，R+表示正實數(shù)集）.　　思路點撥：本題可以根據(jù)A∩R－≠的反面——A∩R―=時的取值范圍進(jìn)行求解.　　解析：設(shè)全集U={m|Δ=16m2―8m―24≥0}={m|m≤―1或}.　　　　　方程x2―4mx+2m+6=0的兩根均非負(fù)的充要條件是，可得.　　　　　∴A∩R－=時，實數(shù)m的取值范圍為；　　　　　∴A∩R－≠時，實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤―1}.　　知識升華：正面難以解決的問題，可采用補(bǔ)集的思想，則不成立的情況一般較少，易從反而考慮，比如題目中出現(xiàn)“至多”，“至少”等字眼時.　　舉一反三：　　【變式1】試求常數(shù)m的范圍，使曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m(x3)垂直平分.　　解析：問題可以轉(zhuǎn)化為：　　　　　為使曲線y=x2有兩個對稱于直線y=m(x3)的點，求m的取值范圍.　　　　　易得，因此原問題的解是.　　【變式2】已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1，若區(qū)間[1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)＞0, 則實數(shù)p的取值范圍是（ ）.　　A、 　　　B、　　　 C、 　　　D、　　解析：問題轉(zhuǎn)化為先求在[1，1]內(nèi)沒有一個實數(shù)C使f(c)＞0，　　　　　即對任意x∈[1,1]，f(x)≤0的P的取值范圍.　　　　　由二次函數(shù)f(x)在[1，1]的圖形易知：　　　　　f(1)≤0且f(1)≤0, 　　　　　解得：或P≥3.　　　　　∴滿足已知條件的P的取值范圍為.　　【變式3】已知三條拋物線：，中至少有一條與x軸相交，求實a的取值范圍.　　答案：或.類型四：換元轉(zhuǎn)化問題　　4．求函數(shù)的最大值.　　思路點撥：令t=sin x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求二次函數(shù)在區(qū)間[―1，1]上的最大值.　　解析：　　　　　　　 　　　　　　　 .　　　　　設(shè)sin x=t，則―1≤t≤1，　　　　　令.　　　　　如圖所示，當(dāng)a＜0時，有.　　　　　　　　　　　　　　　　同理，當(dāng)a≥0時，有.　　　　　所以，當(dāng)a＜0時函數(shù)的最大值為3―4a.　　　　　當(dāng)a≥0時函數(shù)的最大值為3+4a.　　總結(jié)升華：通過換元將三角問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，特別注意：①換元后所得t的函數(shù)的定義域為[―1，1]；②應(yīng)該討論二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸相對于區(qū)間[―1，1]的位置，才能確定其最值.　　舉一反三：　　【變式1】已知x2+y2=1，則z=x―2y的取值范圍是________.　　解析：令x=cosθ，y=sinθ，則，　　　　　∴，.　　　　　∴　　【變式2】已知a∈R，求函數(shù)y=(a―sin x)(a―cos x)的最小值.　　解析：設(shè)t=sin x+cos x，　　　　　則，故.　　　　　而，　　　　　于是，　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　　原問題化歸為求二次函數(shù)在上的最值問題.　　　　　①當(dāng)時，若t=a，；　　　　　②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，；　　　　?、郛?dāng)時，在上單調(diào)遞增，.　　【變式3】已知，t∈R.　?。?）當(dāng)t=―1時，解不等式；　?。?）如果x∈[0，1]時，恒成立，求參數(shù)t的取值范圍.　　答案：（1） （2）t≥1類型五：命題的轉(zhuǎn)化　　5．關(guān)于x的方程x3―3x2―a=0只有一個實數(shù)根，求a的取值范圍.　　思路點撥：本題是一個高次方程的問題，無法用判別式去判定根的個數(shù)，故可以轉(zhuǎn)化命題，轉(zhuǎn)化為曲線y=x3―3x2與直線y=a有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍.　　解析：由x3―3x2―a=0得a=x3―3x2，　　　　　令　　　　　∴，　　　　　令，得x=0或x=2.　　　　　當(dāng)x∈（－∞，0）時，；　　　　　當(dāng)x∈（0，2）時，；　　　　　當(dāng)x∈（2，+∞）時，.　　　　　所以在（－∞，0）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（0，2）上為減函數(shù).　　　　　又，.　　　　　如圖所示，畫出的草圖.　　　　　　　　　　　　　　　　　結(jié)合圖象，直線y=a與曲線y=x3―3x2有一個公共點時，則a＜―4或a＞0.　　　　　所以關(guān)于x的方程x3―3x2―a=0只有一個實數(shù)根時，　　　　　實數(shù)a的取值范圍為a＜―4或a＞0.　　總結(jié)升華：在解題的