【文章內(nèi)容簡介】 α＋ cos α＝ 15， ①sin2α＋ cos2α＝ 1， ② 由 ① 得 cos α＝ 15－ sin α，將其代入 ② ， 整理得 25sin2α－ 5sin α－ 12＝ 0. ∵ α是三角形內(nèi)角， ∴????? sin α＝ 45，cos α＝－ 35，∴ tan α＝－ 43. 法二 ∵ sin α＋ cos α＝ 15， ∴ (sin α＋ cos α)2＝ ??? ???15 2， 即 1＋ 2sin αcos α＝ 125， ∴ 2sin αcos α＝－ 2425， ∴ (sin α－ cos α)2＝ 1－ 2sin αcos α＝ 1＋ 2425＝ 4925. ∵ sin αcos α＝－ 1225＜ 0 且 0＜ α＜ π， ∴ sin α＞ 0， cos α＜ 0， ∴ sin α－ cos α＞ 0， ∴ sin α－ cos α＝ 75. 由????? sin α＋ cos α＝ 15，sin α－ cos α＝ 75，得????? sin α＝ 45，cos α＝－ 35， ∴ tan α＝－ 43. (2) 1cos2α－ sin2α＝ sin2α＋ cos2αcos2α－ sin2α＝sin2α＋ cos2αcos2αcos2α－ sin2αcos2α＝ tan2α＋ 11－ tan2α， ∵ tan α＝－ 43， ∴ 1cos2α－ sin2α＝ tan2α＋ 11－ tan2α＝??????－ 432＋ 11－ ??? ???－ 43 2＝－ 257 . (1)對于 sin α＋ cos α， sin αcos α， sin α－ cos α這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求．轉(zhuǎn)化的公式為 (sin α177。cos α)2＝ 1177。2sin αcos α； (2)關(guān)于 sin α， cos α的齊次式， 往往化為關(guān)于 tan α的式子． 【訓(xùn)練 1】 已知－ π2x0， sin x＋ cos x＝ 15. (1)求 sin x－ cos x 的值； (2)求 sin 2x＋ 2sin2x1－ tan x 的值． 解 (1)sin x＋ cos x＝ 15，兩邊平方得， 1＋ sin 2x＝ 125， ∴ sin 2x＝－ 2425. ∴ (sin x－ cos x)2＝ 1－ sin 2x＝ 4925， 又 ∵ － π2x0， ∴ sin x0， cos x0， ∴ sin x－ cos x＝－ 75. (2)法一 sin 2x＋ 2sin2x1－ tan x ＝2sin x?cos x＋ sin x?1－ sin xcos x ＝ 2sin xcos x?cos x＋ sin x?cos x－ sin x ＝－ 2425 1575＝－ 24175. 法二 由 (1)， 得????? sin x＋ cos x＝ 15，sin x－ cos x＝－ 75?????? sin x＝－ 35，cos x＝ 45. ∴ tan x＝－ 34. sin 2x＋ 2sin2x1－ tan x ＝2sin xcos x＋ 2sin2x?1－ tan x??sin2x＋ cos2x? ＝ 2tan x＋ 2tan2x?1－ tan x??tan2x＋ 1?＝－24175. 法三 由 (1)，得 sin x＋ cos xsin x－ cos x＝－ 17， 得 tan x＋ 1tan x－ 1＝－ 17， ∴ tan x＝－ 34，其余同法二． 考向二 利用誘導(dǎo)公式求值 【例 2】 ?(1)已知 sin??? ???π3－ α ＝ 12，則 cos??? ???π6＋ α ＝ ________； (2)已知 tan??? ???π6－ α ＝ 33 ，則 tan??? ???56π＋ α ＝ ________. [審題視點(diǎn) ] 已知條件或待求式比較復(fù)雜，需對比誘導(dǎo)公式尋找已知角和待求角之間的關(guān)系． 解析 (1)∵ ??? ???π3－ α ＋ ??? ???π6＋ α ＝ π2， ∴ cos??? ???π6＋ α ＝ cos??? ???π2－ ??? ???π3－ α ＝ sin??? ???π3－ α ＝ 12. (2)∵ ??? ???π6－ α ＋ ??? ???5π6 ＋ α ＝ π， ∴ tan??? ???56π＋ α ＝ － tan??? ???π－ ??? ???56π＋ α ＝－ tan??? ???π6－ α ＝－ 33 . 答案 (1)12 (2)－ 33 巧用相關(guān)角的關(guān)系會簡化解題過程．常見的互 余關(guān)系有 π3－ α與 π6＋ α； π3＋ α與 π6－ α； π4＋ α與 π4－ α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有 π3＋ θ與 2π3 － θ； π4＋ θ與 3π4 － θ等． 【訓(xùn)練 2】 (1)已知 sin??? ???7π12＋ α ＝ 23，則 cos??? ???α－ 11π12 ＝ ________； (2)若 tan(π＋ α)＝－ 12，則 tan(3π－ α)＝ ________. 解析 (1)cos??? ???α－ 11π12 ＝ cos??? ???11π12 － α ＝ cos??? ???π－ ??? ???π12＋ α ＝－ cos??? ???π12＋ α ， 而 sin??? ???7π12＋ α ＝ sin??? ???π2＋ ??? ???π12＋ α ＝ cos??? ???π12＋ α ＝ 23， 所以 cos??? ???α－ 11π12 ＝－ 23. (2)因?yàn)?tan(π＋ α)＝ tan α＝－ 12， 所以 tan(3π－ α)＝ tan(π－ α)＝－ tan α＝ 12. 答案 (1)－ 23 (2)12考向三 利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式 【例 3】 ?設(shè) f(α)＝ 2sin?π＋ α?cos?π－ α?－ cos?π＋ α?1＋ sin2α＋ cos??? ???3π2 ＋ α － sin2??? ???π2＋ α(1＋ 2sin α≠ 0)，則 f??? ???－ 23π6＝ ________. [審題視點(diǎn) ] 利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，然后問題即可轉(zhuǎn)化為利用誘導(dǎo)公式求值． 解析 ∵ f(α)＝ ?－ 2sin α??－ cos α?＋ cos α1＋ sin2α＋ sin α－ cos2α ＝ 2sin αcos α＋ cos α2sin2α＋ sin α ＝ cos α?1＋ 2sin α?sin α?1＋ 2sin α?＝ 1tan α， ∴ f??? ???－ 23π6 ＝ 1tan??? ???－ 23π6＝ 1tan??? ???－ 4π＋ π6＝ 1tan π6＝ 3. 答案 3 解答此類問題，首先要有化簡的意識， 將原式先化簡為一個簡單的形式，再代入具體的值．利用誘導(dǎo)公式化簡，特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名稱搞錯． 【訓(xùn)練 3】 (1)化簡：tan?π＋ α?cos?2π＋ α?sin??? ???α－ 3π2cos?－ α－ 3π?sin?－ 3π－ α? ＝ ________. (2)已知 f(x)＝ sin?π－ x?cos?2π－ x?tan?－ x＋ π?cos??? ???－ π2＋ x，則 f??? ???－ 31π3 ＝ ________. 解析 (1)原式＝tan αcos αsin??? ???－ 2π＋ ??? ???α＋ π2cos?3π＋ α?[－ sin?3π＋ α?] ＝tan αcos αsin??? ???π2＋ α?－ cos α?sin α ＝tan αcos αcos α?－ cos α?sin α ＝－ tan αcos αsin α ＝－ sin αcos αcos αsin α＝－ 1. (2)∵ f(x)＝ sin xcos x?－ tan x?sin x ＝－ cos xtan x＝－ sin x， ∴ f??? ???－ 31π3 ＝－ sin??? ???－ 31π3 ＝ sin 31π3 ＝ sin??? ???10π＋ π3 ＝ sin π3＝ 32 . 答案 (1)－ 1 (2) 32 對應(yīng)學(xué)生55 方法優(yōu)化 4——靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值 【命題研究】 通過近三年的高考試題分 析，主要考查用同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、求值，多數(shù)以選擇題和填空題形式命題，難度不大，屬容易題． 【真題探究】 ? (2022遼寧 )已知 sin α－ cos α＝ 2， α∈ (0， π)，則 tan α＝ ( )． A．－ 1 B．－ 22 C. 22 D． 1 [教你審題 ] 思路 1 結(jié)合平方關(guān)系求 sin α、 cos α. 思路 2 平方求 sin 2α. 思路 3 化成形如 y＝ Asin(ωx＋ φ)的形式 ． [一般解法 ] 由 ??? sin α－ cos α＝ 2，sin2α＋ cos2α＝ 1， 得： 2cos2α＋ 2 2cos α＋ 1＝ 0， 即 ( )2cos α＋ 1 2＝ 0， ∴ cos α＝－ 22 . 又 α∈ (0， π)， ∴ α＝ 3π4 ， ∴ tan α＝ tan 3π4 ＝－ 1. [優(yōu)美解法 ] 法一 因?yàn)?sin α－ cos α＝ 2， 所以 2sin??? ???α－ π4 ＝ 2，所以 sin??? ???α－ π4 ＝ 1. 因?yàn)?α∈ (0， π)，所以 α＝ 3π4 ，所以 tan α＝－ 1. 法二 因?yàn)?sin α－ cos α＝ 2，所以 (sin α－ cos α)2＝ 2，所以 sin 2α＝－ α∈ (0， π)， 2α∈ (0,2π)，所以 2α＝ 3π2 ，所以 α＝ 3π4 ，所以 tan α＝－ 1. [答案 ] A [反思 ] (1)熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號問題； (2)注意公式的變形應(yīng)用，如 sin2α＝ 1－ cos2α， cos2α＝ 1－ sin2α， 1＝ sin2α＋ cos2α及 sin α＝ tan αcos α等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時簡化解題過程的關(guān)鍵所在． 【試一試】 (2022江西 )若 tan θ＋ 1tan θ＝ 4，則 sin 2θ的值為 ( )． 解析 ∵ tan θ＋ 1tan θ＝ 1＋ tan2θtan θ ＝ 4， ∴ 4tan θ＝ 1＋ tan2θ， ∴ sin 2θ＝ 2sin θcos θ＝ 2sin θcos θsin2θ＋ cos2θ＝ 2tan θ1＋ tan2θ＝ 2tan θ4tan θ＝ 12. 答案 D對應(yīng)學(xué)生253 A 級 基礎(chǔ) 演練 (時間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 ) 1． (2022濟(jì)南質(zhì)檢 )α∈ ??? ???－ π2， π2 ， sin α＝－ 35，則 cos(－ α)的值為 ( )． A．－ 45 D．－ 35 解析 因?yàn)?α∈ ??? ???－ π2， π2 ， sin α＝－ 35，所以 cos α＝ 45，即 cos(－ α)＝ 45，故選B. 答案 B 2．已知 tan θ＝ 2，則 sin2θ＋ sin θcos θ－ 2cos2θ＝ ( )． A．－ 43 C．－ 34 解析 由于 tan θ＝ 2，則 sin2θ＋ sin θcos θ－ 2cos2θ＝ sin2θ＋ sin θcos θ－ 2cos2θsin2θ＋ cos2θ ＝tan2θ＋ tan θ－ 2tan2θ＋ 1 ＝22＋ 2－ 222＋ 1 ＝45. 答案 D 3． (2022廣州質(zhì)檢 )若 sin α＋ cos αsin α－ cos α＝ 12，則 tan 2α＝ ( )． A．－ 34 C．－ 43 解析 由 sin α＋ cos αsin α－ cos α＝ 12，得 tan α＋ 1tan α－ 1＝ 12，所以 tan α＝－ 3，所以 tan 2α＝2tan α1－ tan2α＝34. 答案 B 4． (2022福建 )若 tan α＝ 3，則 sin 2αcos2α的值等于 ( )． A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 解析 sin 2αcos2α＝ 2sin αcos αcos2α ＝ 2sin αcos α＝ 2tan α，又 tan α＝ 3，故 sin 2αcos2α＝ 6. 答案 D 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (2022揭陽模擬 )已知 sin αcos α＝ 18，且 π4＜ α＜ π2， 則 cos α－ sin α 的值是________． 解析 1－ 2sin αcos α＝ (sin α－ cos α)2＝ 34， 又 ∵ π4＜ α＜