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【正文】 f(x) 若 p(x)是 f(x)的 k重既約因式，則 p(x)必是 f’(x)的 k1重既約因式 1212( ) ( ) ( ) ( ) iif x p x p x p x ????i?GCDamp。以此理想把 Fp[x]劃分陪集，這些陪集全體就構(gòu)成了模 f(x)的剩余類環(huán) 剩余類之間的加法和乘法運(yùn)算規(guī)則 ? ? ? ? ? ? ? ?xbxaxbxa ??? ? ? ? ? ? ? ? ?xbxaxbxa ???Examples GF(2)上的多項(xiàng)式 f(x)=x2+1的剩余類全體為： 對(duì)所定義的加法和乘法運(yùn)算， 構(gòu)成剩余類環(huán) ?元素 沒有乘法逆元 1,1,0 ?xx2 2 22 3 3 22 3 3 2230 : 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 : 1 1 : 1 1 1 : 1 + + 1 x x x x xx x x x x xx x x x x x xx x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???32 xx ?1x?221 0 0 。 1 11 1 1 0x x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Examples GF(2)上的多項(xiàng)式 f(x)=x2+x+1的剩余類全體為： 對(duì)所定義的加法和乘法運(yùn)算， 構(gòu)成域 結(jié)論：若 n次首一多項(xiàng)式 f(x)在域 Fp上 既約 ，則 f(x)的剩余類環(huán)構(gòu)成一個(gè)有 pn個(gè)元素的 有限域 1,1,0 ?xx2 2 22 3 2 32 3 2 320 : 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 : 1 + 1 : 1 1 1 : 1 + x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??3 2 3 1 x x x x? ? ?主理想環(huán)與同構(gòu) 多項(xiàng)式環(huán) Fp[x]的一切理想均是主理想 多項(xiàng)式剩余類環(huán) Fp[x]/f(x)中的每一個(gè)理想都是主理想。它們的元素具有如下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 且在適當(dāng)定義運(yùn)算之后具有同樣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。 , , 0 , 1a b x c x a b c a b c? ? ? ?定義 ： 由一個(gè)單獨(dú)元素的所有 冪次 所構(gòu)成的群稱為 循環(huán)群 ，該元素為循環(huán)群的 生成元 ?冪次的含義與在群上所定義的運(yùn)算有關(guān)。 ?循環(huán)群的生成元不止一個(gè)。 ?例：模 4剩余類全體關(guān)于加法運(yùn)算構(gòu)成循環(huán)群，生成元為 1和 3。 2 1 1 1 。 0 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?3241 3 3 3 3 。3 3 。 ? a0=e, a1, …, an1均不相同 ? an=e ，則 a的一切冪次生成的元素都在 G(a)={a0=e, a1, …, an1 }中 ? 可換群 G中的每一個(gè)元素 a都能生成一個(gè)循環(huán)群。即所有有限域元素都能表示成生成元的冪次的形式，此時(shí)的生成元稱為 本原元 。反之， xq11=0的根必在 GF(q)中 GF(q)中必有本原域元素存在 在含有 n次單位原根的任意域上，有下述因式分解 ? ?101nniixx ???? ? ??分圓多項(xiàng)式 以 GF(q)中彼此不同的 d級(jí)元素為全部根的首一多項(xiàng)式，稱為 d級(jí)分圓多項(xiàng)式，記為 Q(d)(x) d級(jí)分圓多項(xiàng)式 Q(d)(x) 的次數(shù)為 其中 為 Mobius函數(shù)， pi為素?cái)?shù) ? ?d?? ? ? ?1()0|1nn i diddnx x Q x???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?()||11dn nnd d dddd n d nQ x x x??? ? ? ???210 |( ) ( 1 ) , ,1 1ikkpaa a p pa???? ? ??? ??Examples 分解 GF(2)上的 x151多項(xiàng)式 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 5 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 5 )( 1 )( 1 )( 3 ) 1( 3 ) 3 ( 1 ) 3 2( 5 ) 1( 5 ) 5 ( 1 ) 5 4 3 2( 1 5 )( 1 5 ) 3 ( 5 ) 5 ( 3 ) 1 5 ( 1 )1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( 1 )( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x Q x Q x Q x Q xQ x x xQ x x x x x x xQ x x x x x x x x xQ x x x x x??????? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?3 1 5 1 1 58 7 5 4 3 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1x x x xx x x x x x??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?有限域
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