chapter4有限域-wenkub
2022-10-10 21:58:47 本頁(yè)面
【正文】 加法，恒等元用 0表示， ? 若為乘法，恒等元稱為單位元 阿貝爾群 (Abelian Group)、可換群、交換群： 滿足交換律 Gba ?,1) 封閉性 。如果同態(tài) 映射 f又是雙射，則稱為 同構(gòu)映射 ，集合 A與 B同構(gòu) 。且有： 1. 有一群元素構(gòu)成一個(gè)集合； 2. 在元素集合中有一個(gè)等價(jià)關(guān)系； 3. 在集合中定義了一個(gè)或數(shù)個(gè)運(yùn)算，通過(guò)運(yùn)算建立起元素之間的關(guān)系； 4. 有一組假定。 同態(tài)與同構(gòu)： ? 設(shè) f是代數(shù)系統(tǒng) (A, 若 f是 A 到 A自身的同構(gòu)映射，則稱為 自同構(gòu) 。對(duì)任意 ，恒有 Gba ??Gcba ?,2) 結(jié)合律 。 定義 ?若環(huán) R中的子集 S，在環(huán) R中的定義的代數(shù)運(yùn)算也構(gòu)成環(huán)，則稱 S為 R的子環(huán)， R為 S的擴(kuò)環(huán) 判定 ?非空子集 S是 R的子環(huán)的充要條件是： ? 對(duì)任何兩個(gè)元素 a, b∈ S ， 恒有 ab ∈ S； ? 對(duì)任何兩個(gè)元素 a, b∈ S， 恒有 ab ∈ S； 例子 ?全體整數(shù)集合構(gòu)成一個(gè)可換環(huán)。??1 , 2 , 1 , 4 , 。 1 1 1 。稱具有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)集合為 同構(gòu) ? ?2 。 ?凡是循環(huán)群必是可換群 。3 1 1 1 1 。 0 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?有限循環(huán)群和無(wú)限循環(huán)群 ? 若元素 a的所有冪次均不相同 (無(wú)限循環(huán)群 ) ? 存在整數(shù) h和 k，使得 ak=ah，則有 a生成的循環(huán)群中元素個(gè)數(shù)有限 (有限循環(huán)群 ) 循環(huán)群元素的級(jí) ? 若 ak=ah，則有 ahk=e，定義使 an=e的最小正整數(shù)為有限循環(huán)群元素 a的 級(jí) 。 在 GF(q)中，每一個(gè)非 0元素均滿足 xq1=1，即都是方程 xq11=0的根。 ?如 GF(22)的 4個(gè)元素 : 00, 01, 10, 11中的每一個(gè)特征均為 2；故 GF(22)是一個(gè)特征為 2的域 在特征為 p的域中，恒有 其中， a是域中的任一元素 在 p特征域中，對(duì)任何域元素 a, b，恒有 在 p特征域中，任一元素的級(jí)均不是 p的倍數(shù) (,推論 ) ? ? p ppx a x a? ? ?? ? p ppa b a b? ? ?有限域加法性質(zhì) 若 w1, w2, …, wk是 p特征域的元素，則對(duì)于一切自然數(shù) n，恒有 若 k是 p特征域的域整數(shù)，則對(duì)于一切自然數(shù) n，必滿足方程 ，即 (見 ) Fermat定理 ：對(duì) GF(pm)中的任何元素 w，恒有 任何小于素?cái)?shù) p的整數(shù) b滿足 ，如 p特征域中，元素為域整數(shù)的充要條件是滿足 npxx? npkk?11nnpkkpiiiiww???? ???????mpww?( m od )pb b p? 62 1 ( m od 7 )?0pxx??最小多項(xiàng)式 若 為方程 的根，則 GF(pm)中互不相同的 m個(gè)元素 是 f(x)的 m個(gè)不同的根。 ? 可以由 GF(p)上的一個(gè) m次本原或既約多項(xiàng)式，用它的根 w構(gòu)成的這組基底的線性組合，構(gòu)造一個(gè) GF(pm)有限域 互反多項(xiàng)式 定義 ?設(shè) GF(p)上的 m次多項(xiàng)式 則 稱為 互反多項(xiàng)式 ?例： 性質(zhì) ?若 α為 f(x)的根，則 α1為 f*(x)的根 ?若 f(x)既約，則 f*(x)也為既約；反之亦然 ?若 f(x)為本原多項(xiàng)式，則 f*(x)也為本原多項(xiàng)式；反之亦然 0 1 00( ) , 0m kmk m mkf x a x a a x a x a a?? ? ? ? ? ?? *1 0100()mmm k m k m mk k mkkf x x a x a x a x a x a? ? ???? ? ? ? ? ??? 31( ) 1f x x x? ? ? * 3 2( ) 1f x x x? ? ?多項(xiàng)式的周期 定義 ?設(shè) f(x) ∈ Fp[x], f(0) ≠0（即 x !| f(x) ），則 f(x)|(xl1)的最小正整數(shù) l，稱為 f(x)的 周期 （或 指數(shù) ），記為 p(f) 性質(zhì) ?f(x)的周期 l是以 f(x)為模所構(gòu)成多項(xiàng)式剩余類環(huán)中乘法群內(nèi)元素 之級(jí) ?f(x) ∈ Fp[x], f(0) ≠0，則 f(x)|(xl1)的充要條件是 p(f)|l ?多項(xiàng)式 (xm1)|(xn1)的充要條件是 m|n ?若 f(x)是 Fp[x]中 m次既約多項(xiàng)式，則 f(x)之周期 p(f)等于f(x)在 GF(pm)中的根的級(jí) ( m od ( ) )x f x多項(xiàng)式的周期 性質(zhì) (cont.) ?GF(p)上多項(xiàng)式 f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式若為 則 f(x)的周期 式中 是 ≥x的最小整數(shù) 1( ) ( )ikmiif x f x?? ?() Rp f np? ? ?12L C M , , , kn n n n? ( ) , 1 , 2 , ,iin p f i k?? ? ?? ?12l o g m a x , , ,pkR m m m??? ??x????多項(xiàng)式的周期 Example ?GF(2)上的多項(xiàng)式 因?yàn)? 以 5級(jí)元素為根 以 15級(jí)元素為根 4 3 2 4( ) ( 1 ) ( 1 )f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?432 1x x x x? ? ? ?4 1xx??2l og m a x( 1 , 1 ) 0R ?????? L C M ( 15 , 5 ) 15n ??0( ) 15 2 15pf ?? ( 5 ) 4 3 2( 1 5 ) 8 7 5 4 3 4 3 4( ) 1( ) 1 ( 1 ) ( 1 )Q x x x x xQ x x x x x x x x x x
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