chapter4有限域(已修改)
2024-10-15 21:58 本頁面
【正文】 State Key Laboratory of Integrated Services Networks Chapter 4 有限域 內(nèi)容 近世代數(shù)基本知識復習 子環(huán)與理想 循環(huán)群 有限域的乘法結構 有限域的加法結構 有限域的代數(shù)結構 多項式的因式分解 正規(guī)基和對偶基 同余和剩余類 同余 ?若整數(shù) a和 b被同一正整數(shù) m除時，有相同的余數(shù)，則稱 a、 b關于模 m同余，記為 ?若 則 剩余類 ?給定正整數(shù) m，將全體整數(shù)按余數(shù)相同進行分類，可獲得 m個剩余類： )( m o d mba ?1,1,0 ?m?babababa ?????? ,1 1 2 2( m od ) , ( m od ) ,a b m a b m??1 2 1 2 1 2 1 2( m od ) , ( m od )a a b b m a a b b m? ? ? ? ? ?同態(tài)與同構 代數(shù)系統(tǒng) ? 滿足一定規(guī)律或定律的系統(tǒng)稱為 代數(shù)系統(tǒng) 。且有： 1. 有一群元素構成一個集合； 2. 在元素集合中有一個等價關系； 3. 在集合中定義了一個或數(shù)個運算，通過運算建立起元素之間的關系； 4. 有一組假定。 同態(tài)與同構： ? 設 f是代數(shù)系統(tǒng) (A, )到 (B,*)的映射，如果它滿足條件 f(a1 a2) =f(a1) *f(a2) a1 ,a2 ∈ A, f(a1) ,f(a2) ∈ B 則稱 f是 A到 B的 同態(tài)映射 ，集合 A與 B同態(tài) 。如果同態(tài) 映射 f又是雙射，則稱為 同構映射 ，集合 A與 B同構 。若 f是 A 到 A自身的同構映射，則稱為 自同構 。 群 設 G是一個非空集合，并在 G內(nèi)定義了一種代數(shù)運算 “ 。 ”，若滿足： ? ? ? ? 則稱 G構成一個群。 ? 若加法，恒等元用 0表示， ? 若為乘法，恒等元稱為單位元 阿貝爾群 (Abelian Group)、可換群、交換群： 滿足交換律 Gba ?,1) 封閉性 。對任意 ，恒有 Gba ??Gcba ?,2) 結合律 。對任意 ，恒有 ? ? ? ?cbacba ???? ?3) G中 存在一恒等元 e,對任意 Ga? ，使 aaeea ?? ??4) 對任意 Ga?eaaaa ?? ?? ?? 11， 存在 a的逆元 Ga ??1 ，使 環(huán) 非空集合 R中，若定義了兩種代數(shù)運算 加 和 乘 ，且滿足： ?1) 集合 R在 加法 運算下構成 阿貝爾群 ?2) 乘法有 封閉性 ?3) 乘法 結合律 成立，且加和乘之間有分配律 環(huán)＝ 阿貝爾加群＋乘法半群 相關概念 ?有單位元環(huán)（乘法有單位元） ?交換環(huán)（乘法滿足交換率） ?整環(huán)（無零因子環(huán)） 域 定義：非空集合 F，若 F中定義了 加 和 乘 兩種運算，且滿足： ? 1) F關于 加法構成阿貝爾群 ，加法恒等元記為 0 ? 2) F中所有 非零元素對乘法構成阿貝爾群 ，乘法恒等元 記為 1 ? 3) 加法和乘法之間滿足 分配律 域是一個 可換的、有單位元、非零元素有逆元 的環(huán)，且域中一定 無零因子 。 元素個數(shù)無限的域稱為 無限域； 元素個數(shù)有限的域稱為 有限域 ，用 GF(q)或 Fq表示 q階有限域。有限域也稱為 伽邏華域 。 定義 ?若環(huán) R中的子集 S，在環(huán) R中的定義的代數(shù)運算也構成環(huán)，則稱 S為 R的子環(huán)， R為 S的擴環(huán) 判定 ?非空子集 S是 R的子環(huán)的充要條件是： ? 對任何兩個元素 a, b∈ S ， 恒有 ab ∈ S； ? 對任何兩個元素 a, b∈ S， 恒有 ab ∈ S； 例子 ?全體整數(shù)集合構成一個可換環(huán)。以某一整數(shù) m的倍數(shù)全體構成其中的一個子環(huán)。如 m=3, 集合 {…, 3, 0, 3, …} 構成一個子環(huán) 子環(huán) 理想 理想 ?非空子集 I是 交換環(huán) R的理想的充要條件是： ? 對任何兩個元素 a, b∈ I ， 恒有 ab ∈ I； ?Abel加群 ? 對任何兩個元素 a ∈ I, r∈ R， 恒有 ar=ra ∈ I； ?若 I包含了 a，則包含了 a的一切倍元 ?I構成一個 Abel加群，所以可用它作為一個正規(guī)子群，把 R中的元素進行分類劃分陪集 主理想 ?若理想中的元素由一個元素的所有倍數(shù)及其線性組合生成，則稱這個理想為 主理想 。 ?在可換環(huán) R中，由一個元素 a ∈ R所生成的理想 I(a)={ra + na|r ∈ R, n ∈ Z}稱為環(huán) R的一個 主理想 ，稱元素 a為該主理想的 生成元 剩余類環(huán) 定義 ?設 R是可換環(huán)， I為 R的一個理想，于是 R模 I構成一個可換環(huán)，稱它為環(huán) R以理想 I為模的 剩余類環(huán) 例 ?R=Z， I3={…, 3, 0, +3, …} ， R以 I劃分陪集為 ?集合 構成一個可換環(huán) 0 , 3 , 0 , 3 , 。??1 , 2 , 1 , 4 , 。??2 , 1 , 2 , 5 ,??? ?0 , 1 , 2 多項式 多項式 f(x)=fnxn+ fn1xn1+…+ f 1x+f0 其中 i=0,1,…, n， 該多項式稱為域 Fp上的多項式 多項式次數(shù) degf(x) ?系數(shù)不為零的 x的最高次數(shù)稱為多項式 f(x)的次數(shù) 首一多項式 ?最高次數(shù)的系數(shù)為 1的多項式 既約多項式 ?設 f(x)是次數(shù)大于零的多項式，若除常數(shù)和常數(shù)與本身的乘積以外，再不能被域 Fp上的其他多項式整除，則稱 f(x)為域 Fp上的既約多項式 ?f(x)是否既約與討論的域有關： f(x)=x2+1在實數(shù)域上既約，但在復數(shù)域上 f(x)=(x+i)(xi)，考慮 GF(2)上？ pi Ff ?既約多項式 每一個首一多項式必可分解為首一既約多項式之積，并且當不考慮因式的順序時，該分解是唯一的 其中， pi(x)為首一既約多項式， 為正整數(shù) d次多項式 f(x)不可能有多于 d個的一次因式 , 至多有 d個根 α為之根的充要條件
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