chapter4有限域(編輯修改稿)
2024-11-04 21:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 1 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?3241 3 3 3 3 。 2 3 3 3 。3 3 。 0 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?有限循環(huán)群和無限循環(huán)群 ? 若元素 a的所有冪次均不相同 (無限循環(huán)群 ) ? 存在整數(shù) h和 k，使得 ak=ah，則有 a生成的循環(huán)群中元素個數(shù)有限 (有限循環(huán)群 ) 循環(huán)群元素的級 ? 若 ak=ah，則有 ahk=e，定義使 an=e的最小正整數(shù)為有限循環(huán)群元素 a的 級 。 ? a0=e, a1, …, an1均不相同 ? an=e ，則 a的一切冪次生成的元素都在 G(a)={a0=e, a1, …, an1 }中 ? 可換群 G中的每一個元素 a都能生成一個循環(huán)群。若 a為有限級，則生成有限循環(huán)群， a的級即為循環(huán)群中元素的個數(shù) (循環(huán)群的階 ) 循環(huán)群的構(gòu)造及性質(zhì) 若 a是 n級元素，則 am=e的充要條件是 n|m 若 a是 n級元素， b是 m級元素，且 (n,m)=1,則 (ab)的級為nm 若 a是 n級元素， 則 ak的級為 n/(k,n) 若 a是 dk級元素， 則 ak為 d級元素 n階循環(huán)群中，每個元素的級是群階數(shù) n的因子 單位原根： n階循環(huán)群中，每一個 n級元素稱為 n次單位原根 n階循環(huán)群中有 個單位原根 歐拉函數(shù)： 0, 1, …, n1中與 n互素的個數(shù) 如 n=12=3 22，則 有限循環(huán)群中級的性質(zhì) ? ?n?? ?n?? ? ? ?111isiiin p p?? ?????1212 ssn p p p ????? ? 2 1 1 112 2 ( 2 1 ) 3 ( 3 1 ) 4? ??? ? ? ?有限域的乘法結(jié)構(gòu) 域的乘法群必為某一個元素生成的循環(huán)群，即 q階域中必能找到一個 ?，其級為 q1。即所有有限域元素都能表示成生成元的冪次的形式，此時的生成元稱為 本原元 。 在 GF(q)中，每一個非 0元素均滿足 xq1=1，即都是方程 xq11=0的根。反之， xq11=0的根必在 GF(q)中 GF(q)中必有本原域元素存在 在含有 n次單位原根的任意域上，有下述因式分解 ? ?101nniixx ???? ? ??分圓多項(xiàng)式 以 GF(q)中彼此不同的 d級元素為全部根的首一多項(xiàng)式，稱為 d級分圓多項(xiàng)式，記為 Q(d)(x) d級分圓多項(xiàng)式 Q(d)(x) 的次數(shù)為 其中 為 Mobius函數(shù)， pi為素?cái)?shù) ? ?d?? ? ? ?1()0|1nn i diddnx x Q x???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?()||11dn nnd d dddd n d nQ x x x??? ? ? ???210 |( ) ( 1 ) , ,1 1ikkpaa a p pa???? ? ??? ??Examples 分解 GF(2)上的 x151多項(xiàng)式 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 5 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 5 )( 1 )( 1 )( 3 ) 1( 3 ) 3 ( 1 ) 3 2( 5 ) 1( 5 ) 5 ( 1 ) 5 4 3 2( 1 5 )( 1 5 ) 3 ( 5 ) 5 ( 3 ) 1 5 ( 1 )1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( 1 )( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x Q x Q x Q x Q xQ x x xQ x x x x x x xQ x x x x x x x x xQ x x x x x??????? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?3 1 5 1 1 58 7 5 4 3 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1x x x xx x x x x x??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?有限域的加法結(jié)構(gòu) 域的特征 ? 滿足 ne=0的最小 n值為 域的特征 ，這里 e為乘法單位元， 0為域的零元， n取自正整數(shù) ? GF(p)的特征為 p ? 每一個域的特征或?yàn)樗財(cái)?shù)，或?yàn)?∞ ? 域的 特征 說明了域中 加法運(yùn)算的循環(huán)性 ，而域中元素的 級 則說明了 乘法運(yùn)算的循環(huán)性 。 元素的周期 ? 對域中元素 a≠0，滿足 na=0的最小 n值為 a的 周期 。（注意對于域而言， 在加法上用周期，在乘法上用級 ） ? 域中非 0元的周期都相同，且與域的特征相等 在 p特征域中，域整數(shù)全體（形如 ne的全體域元素 : n=…, 2, 1, 0 ,1, 2, … ）構(gòu)成 p階素子域，它與模 p的整數(shù)域GF(p)同構(gòu) ? ? ? ?0 , 1 , 2 1 , , ( 1 ) 1 0 , 1 , 2 , , 1pR p p? ? ? ?有限域加法性質(zhì) GP(p)為 GF(pm)的 基域 ， GF(pm)為 GF(p)的 擴(kuò)域，GF(pm)的特征為 p。 ?如 GF(22)的 4個元素 : 00, 01, 10, 11中的每一個特征均為 2；故 GF(22)是一個特征為 2的域 在特征為 p的域中，恒有 其中， a是域中的任一元素 在 p特征域中，對任何域元素 a, b，恒有 在 p特征域中，任一元素的級均不是 p的倍數(shù) (,推論 ) ? ? p ppx a x a? ? ?? ? p ppa b a b? ? ?有限域加法性質(zhì) 若 w1, w2, …, wk是 p特征域的元素，則對于一切自然數(shù) n，恒有 若 k是 p特征域的域整數(shù)，則對于一切自然數(shù) n，必滿足方程 ，即 (見 )
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