chapter4有限域-文庫吧
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【正文】 是 (xα)| f(x) 若 p(x)是 f(x)的 k重既約因式，則 p(x)必是 f’(x)的 k1重既約因式 1212( ) ( ) ( ) ( ) iif x p x p x p x ????i?GCDamp。LCM GCD (f(x), g(x))：同時除盡 f(x)和 g(x)的次數最高的首一多項式 LCM [f(x), g(x)]：同時被 f(x)和 g(x)除盡的次數最低的首一多項式 f(x) g(x)= (f(x), g(x)) [f(x), g(x)] Euclidean算法 (f(x), g(x))=A(x) f(x)＋ B(x) g(x) ? ?9 8 7 2 5 3 4 3 34 3 33 5 3 4 3( ) 1 ( ) ( 1 ) ( 1 )( ) 1 ( 1 ) ( 1 )( ) , ( ) 1 1 ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x x x x xg x x x x x xf x g x x f x x x x x x xA x f x B x g x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???多項式的加法和乘法 設 f(x)=fnxn+ fn1xn1+…+ f 1x+f0 g(x)=gmxm+ gm1xm1+…+ g 1x+g0 多項式相等 ?若 m=n，且對所有 i, fi=gi, 則 f(x)=g(x) 多項式加（若 nm) f(x)+g(x)= fn xn+…+f m+1xm+1+ (fm + gm)xm+…+ (f1 + g1)x+(f0 + g0) 多項式乘 f(x) g(x)=hn+m xn+m+ hn+m1 xn+m1+…+ h 1x+h0 pi Ff ?pi Fg ?0 0 ,1 , , , 1 , ,ij i jji ij i jj i mf g i m n mhf g i m m n??????????? ?? ? ? ?????多項式剩余類環(huán) 結論 ?按上述定義的加法和乘法運算， Fp[x]構成一個 具有單位元、無零因子的可換環(huán) 多項式剩余類環(huán) ?以一個 Fp上的多項式 f(x)=fnxn+ fn1xn1+…+ f 1x+f0為模的剩余類全體構成一個 多項式剩余類環(huán) ?Fp[x]上任一多項式 f(x)的一切倍式集合 If(x)組成一個理想。以此理想把 Fp[x]劃分陪集，這些陪集全體就構成了模 f(x)的剩余類環(huán) 剩余類之間的加法和乘法運算規(guī)則 ? ? ? ? ? ? ? ?xbxaxbxa ??? ? ? ? ? ? ? ? ?xbxaxbxa ???Examples GF(2)上的多項式 f(x)=x2+1的剩余類全體為： 對所定義的加法和乘法運算， 構成剩余類環(huán) ?元素 沒有乘法逆元 1,1,0 ?xx2 2 22 3 3 22 3 3 2230 : 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 : 1 1 : 1 1 1 : 1 + + 1 x x x x xx x x x x xx x x x x x xx x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???32 xx ?1x?221 0 0 。 1 1 1 。 1 11 1 1 0x x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Examples GF(2)上的多項式 f(x)=x2+x+1的剩余類全體為： 對所定義的加法和乘法運算， 構成域 結論：若 n次首一多項式 f(x)在域 Fp上 既約 ，則 f(x)的剩余類環(huán)構成一個有 pn個元素的 有限域 1,1,0 ?xx2 2 22 3 2 32 3 2 320 : 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 : 1 + 1 : 1 1 1 : 1 + x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??3 2 3 1 x x x x? ? ?主理想環(huán)與同構 多項式環(huán) Fp[x]的一切理想均是主理想 多項式剩余類環(huán) Fp[x]/f(x)中的每一個理想都是主理想。且該主理想的生成元必除盡 f(x) GF(2)上二次多項式與 GF(2)上的三重。它們的元素具有如下的一一對應關系 且在適當定義運算之后具有同樣的性質與結構。稱具有這種對應關系的兩個集合為 同構 ? ?2 。 , , 0 , 1a b x c x a b c a b c? ? ? ?定義 ： 由一個單獨元素的所有 冪次 所構成的群稱為 循環(huán)群 ，該元素為循環(huán)群的 生成元 ?冪次的含義與在群上所定義的運算有關。若定義加法運算，冪運算為連加運算；若定義乘法運算，則冪運算為連乘。 ?循環(huán)群的生成元不止一個。 ?凡是循環(huán)群必是可換群 。 ?例：模 4剩余類全體關于加法運算構成循環(huán)群，生成元為 1和 3。 循環(huán)群的定義 2341 1 。 2 1 1 1 。3 1 1 1 1 。 0 1 1
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