【正文】 rejected ? A=1? x4+x3+1。 ? a0=e, a1, …, an1均不相同 ? an=e ，則 a的一切冪次生成的元素都在 G(a)={a0=e, a1, …, an1 }中 ? 可換群 G中的每一個(gè)元素 a都能生成一個(gè)循環(huán)群。 1 11 1 1 0x x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Examples GF(2)上的多項(xiàng)式 f(x)=x2+x+1的剩余類全體為： 對(duì)所定義的加法和乘法運(yùn)算， 構(gòu)成域 結(jié)論：若 n次首一多項(xiàng)式 f(x)在域 Fp上 既約 ，則 f(x)的剩余類環(huán)構(gòu)成一個(gè)有 pn個(gè)元素的 有限域 1,1,0 ?xx2 2 22 3 2 32 3 2 320 : 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 : 1 + 1 : 1 1 1 : 1 + x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??3 2 3 1 x x x x? ? ?主理想環(huán)與同構(gòu) 多項(xiàng)式環(huán) Fp[x]的一切理想均是主理想 多項(xiàng)式剩余類環(huán) Fp[x]/f(x)中的每一個(gè)理想都是主理想。 群 設(shè) G是一個(gè)非空集合，并在 G內(nèi)定義了一種代數(shù)運(yùn)算 “ 。 ”，若滿足： ? ? ? ? 則稱 G構(gòu)成一個(gè)群。且該主理想的生成元必除盡 f(x) GF(2)上二次多項(xiàng)式與 GF(2)上的三重。若 a為有限級(jí)，則生成有限循環(huán)群， a的級(jí)即為循環(huán)群中元素的個(gè)數(shù) (循環(huán)群的階 ) 循環(huán)群的構(gòu)造及性質(zhì) 若 a是 n級(jí)元素，則 am=e的充要條件是 n|m 若 a是 n級(jí)元素， b是 m級(jí)元素，且 (n,m)=1,則 (ab)的級(jí)為nm 若 a是 n級(jí)元素， 則 ak的級(jí)為 n/(k,n) 若 a是 dk級(jí)元素， 則 ak為 d級(jí)元素 n階循環(huán)群中，每個(gè)元素的級(jí)是群階數(shù) n的因子 單位原根： n階循環(huán)群中，每一個(gè) n級(jí)元素稱為 n次單位原根 n階循環(huán)群中有 個(gè)單位原根 歐拉函數(shù)： 0, 1, …, n1中與 n互素的個(gè)數(shù) 如 n=12=3 22，則 有限循環(huán)群中級(jí)的性質(zhì) ? ?n?? ?n?? ? ? ?111isiiin p p?? ?????1212 ssn p p p ????? ? 2 1 1 112 2 ( 2 1 ) 3 ( 3 1 ) 4? ??? ? ? ?有限域的乘法結(jié)構(gòu) 域的乘法群必為某一個(gè)元素生成的循環(huán)群，即 q階域中必能找到一個(gè) ?，其級(jí)為 q1。 accepted ? C=1? x4+x+1。 rejected ? 2) A、 B、 C中只有 1個(gè)為 1 ? B=1? x4+x2+1=(x2+x1+1)2。 0 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?有限循環(huán)群和無限循環(huán)群 ? 若元素 a的所有冪次均不相同 (無限循環(huán)群 ) ? 存在整數(shù) h和 k，使得 ak=ah，則有 a生成的循環(huán)群中元素個(gè)數(shù)有限 (有限循環(huán)群 ) 循環(huán)群元素的級(jí) ? 若 ak=ah，則有 ahk=e，定義使 an=e的最小正整數(shù)為有限循環(huán)群元素 a的 級(jí) 。 1 1 1 。若 f是 A 到 A自身的同構(gòu)映射，則稱為 自同構(gòu) 。 ? 若加法，恒等元用 0表示， ? 若為乘法，恒等元稱為單位元 阿貝爾群 (Abelian Group)、可換群、交換群： 滿足交換律 Gba ?,1) 封閉性 。它們的元素具有如下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 且在適當(dāng)定義運(yùn)算之后具有同樣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。即所有有限域元素都能表示成生成元的冪次的形式，此時(shí)的生成元稱為 本原元 。 accepted Remark: x4+x3+1， x4+x+1為互反多項(xiàng)式 因此 ? ? ? ?( 1 5 ) 4 3 4( ) 1 1Q x x x x x? ? ? ? ?因式分解 均以 15級(jí)元素為根。 G F ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?既約多項(xiàng)式的數(shù)目 GF(p)上 m次既約多項(xiàng)式的數(shù)目是 式中 為 Mobius函數(shù) 例： GF(2)上 3次既約多項(xiàng)式的數(shù)目 分別為 ()d?|1 () m dmddmI d pm?? ?31311( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 8 2 ) 233I ????? ? ? ? ???3 2 3( ) 1 , 1f x x x x x? ? ? ? ?同構(gòu) m重、多項(xiàng)式剩余類以及 α多項(xiàng)式之間均同構(gòu)，都可用來表示 pm階有限域 012 2 230 0 0 0 0 01 1 0 01 0 1 0 1 0 0 1 1 + xxx????????4 2 25 2 26 2 2 01 1 + 1 1 0 1 1 + + 1 1 1 1 1 + 1 0 1xxxxx? ? ?? ? ???????3( ) 1f x x x? ? ?因式分解 分解 注意到 22=1(mod 3) ?Q(3)(x)既約