chapter4有限域-閱讀頁(yè)
2024-10-19 21:58本頁(yè)面
【正文】 的加法結(jié)構(gòu) 域的特征 ? 滿足 ne=0的最小 n值為 域的特征 ，這里 e為乘法單位元， 0為域的零元， n取自正整數(shù) ? GF(p)的特征為 p ? 每一個(gè)域的特征或?yàn)樗財(cái)?shù)，或?yàn)?∞ ? 域的 特征 說(shuō)明了域中 加法運(yùn)算的循環(huán)性 ，而域中元素的 級(jí) 則說(shuō)明了 乘法運(yùn)算的循環(huán)性 。（注意對(duì)于域而言， 在加法上用周期，在乘法上用級(jí) ） ? 域中非 0元的周期都相同，且與域的特征相等 在 p特征域中，域整數(shù)全體（形如 ne的全體域元素 : n=…, 2, 1, 0 ,1, 2, … ）構(gòu)成 p階素子域，它與模 p的整數(shù)域GF(p)同構(gòu) ? ? ? ?0 , 1 , 2 1 , , ( 1 ) 1 0 , 1 , 2 , , 1pR p p? ? ? ?有限域加法性質(zhì) GP(p)為 GF(pm)的 基域 ， GF(pm)為 GF(p)的 擴(kuò)域，GF(pm)的特征為 p。這 m個(gè)根稱為方程 f(x)的 共軛根系 (定理 ) 能滿足 pm=1(mod n)的最小整數(shù) m，稱為 p對(duì)模 n的方次數(shù) (參見(jiàn) ) 系數(shù)取自 GF(p)的，以 w為根的所有首一多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的稱為 w的最小多項(xiàng)式 m(x)， w的最小多項(xiàng)式的次數(shù)m稱為 w的 次數(shù) ，稱 w為 m次域元素 G F ( )mwp?0( ) 0 。（以最小多項(xiàng)式為模） ? 如： GF(2)上 f(x)=x3+x+1，以 GF(23)上的元素 w為根，則 GF(2)上小于 3次 w多項(xiàng)式全體構(gòu)成 23階子域： 0, 1, w, w +1, w 2, w 2 +1, w 2 +w, w 2 +w +1 對(duì)于 m次元素 w，有 1, w, w2, …, wm1線性無(wú)關(guān)，可作為域空間的 基。即 GF(pd)是 GF(p)的擴(kuò)域，且 f(x)在 GF(pd)內(nèi)有根 GF(pr)含有子域 GF(ps)的充要條件是 s|r 若 β∈ GF(pr) ，則 β∈ GF(ps)中的充要條件是 。 G F ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?既約多項(xiàng)式的數(shù)目 GF(p)上 m次既約多項(xiàng)式的數(shù)目是 式中 為 Mobius函數(shù) 例： GF(2)上 3次既約多項(xiàng)式的數(shù)目 分別為 ()d?|1 () m dmddmI d pm?? ?31311( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 8 2 ) 233I ????? ? ? ? ???3 2 3( ) 1 , 1f x x x x x? ? ? ? ?同構(gòu) m重、多項(xiàng)式剩余類以及 α多項(xiàng)式之間均同構(gòu)，都可用來(lái)表示 pm階有限域 012 2 230 0 0 0 0 01 1 0 01 0 1 0 1 0 0 1 1 + xxx????????4 2 25 2 26 2 2 01 1 + 1 1 0 1 1 + + 1 1 1 1 1 + 1 0 1xxxxx? ? ?? ? ???????3( ) 1f x x x? ? ?因式分解 分解 注意到 22=1(mod 3) ?Q(3)(x)既約 24=1(mod 5) ?Q(5)(x)既約 24=1(mod 15) ?Q(15)(x)非既約，進(jìn)一步分解為（待定系數(shù)法） 16xx? ? ?1 6 1 5 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 5 )( 1 )( 3 ) 2( 5 ) 4 3 2( 1 5 ) 8 7 5 4 31 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1 )( ) 1( ) 1( ) 1x x x x x Q x Q x Q x Q xQ x xQ x x xQ x x x x xQ x x x x x x? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?( 1 5 ) 4 3 4( ) 1 1Q x x x x x? ? ? ? ?待定系數(shù)法 Q(15)(x)的既約因式必為 x4+Ax3+Bx2+Cx+1 1不是 15級(jí)元素 ?A+B+C=1 ? 1) A=B=C=1? x4+x3+x2+x+1= Q(5)(x)。 rejected ? A=1? x4+x3+1。 accepted Remark: x4+x3+1， x4+x+1為互反多項(xiàng)式 因此 ? ? ? ?( 1 5 ) 4 3 4( ) 1 1Q x x x x x? ? ? ? ?因式分解 均以 15級(jí)元素為根。若以 的根 α表示，則上的 15個(gè)非 0元素如下所示 4 3 41 , 1x x x x? ? ? ?4 1xx??0 8 2932 10 23 11 3 24 12 3 2521 1 = + = + 1 = += + 1 = + 1= ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??????13 3 26 3 2 14 37 3 15= 1= = 1= 1 = 1? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????因式分解 把 x91分解為 GF(2)上的既約因式乘積 找 9級(jí)元素的最小多項(xiàng)式，注意到 26=1(mod 9)。設(shè) α為 GF(26)上的本原域元素 α63=1，則 (α7)9=1 ， α7為 9
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