【正文】 ?i的盈利嚴(yán)格地大于他的所有其他策略的盈利 ， 換言之 ， πi (s?i, si) πi (si, si) 對(duì)一切 si和 si成立 其中 si是除了局中人 i以外的其他局中人選擇的策略向量 。 定義 . 如果局中人 i的策略 s?i， 對(duì)于其他局中人的每一個(gè)策略來(lái)說(shuō) ， 至少與他的另一個(gè)策略 si一樣地好 ， 而對(duì)于其他局中人的某個(gè)策略來(lái)說(shuō) ， s?i嚴(yán)格地好于 si， 即 則稱(chēng)策略 s?i（ 弱 ） 優(yōu)于策略 si。如果 s?i弱占優(yōu)于其他任何一個(gè)策略 si，那么 s?i被稱(chēng)為弱占優(yōu)策略 *。如果公式 si =si，稱(chēng)策略s?i強(qiáng)優(yōu)于策略。 iiiiiiiiiiiiiissssssssss?????????)?,()?,39。(對(duì)某些對(duì)所有????占優(yōu)策略解 當(dāng)每一個(gè)局中人都有占優(yōu)策略時(shí) ， 博弈就有一個(gè)占優(yōu)策略解 。 例如，囚徒困境中（認(rèn)罪，認(rèn)罪）構(gòu)成了一個(gè)占優(yōu)策略解。不管其他競(jìng)拍人怎樣叫價(jià)，你所能做得最好的辦法是，以你認(rèn)為畫(huà)所值的價(jià)格作為叫價(jià)來(lái)。假使你決定 “ 節(jié)省你的出價(jià) ” ，并且在 2500美元處放下拍賣(mài)牌。一種情況是，還有某些人最高叫價(jià)超過(guò) 3000美元，其次，若最高叫價(jià) ——即贏得雷諾依作品的叫價(jià) ——是 2700美元。 3000美元的最高叫價(jià)比起2500美元的叫價(jià)來(lái)決不會(huì)差些 ——而有時(shí)候嚴(yán)格地更好一些。 ， 策略型可以很方便地表達(dá)為盈利矩陣 。 。 ， 占優(yōu)策略比其他每一個(gè)策略給出較高的盈利 。 ， 真實(shí)地叫價(jià)是該博弈的占優(yōu)策略解 。 策略 si 劣于另一個(gè)策略 s?i，如果對(duì)于其他局中人的每一個(gè)策略，后者與 si 至少一樣好，而對(duì)于其他局中人的某些策略， s?i嚴(yán)格地好于si，以致 如果一個(gè)策略不劣于任何其他策略，則稱(chēng)它為 非劣策略 。 進(jìn)一步假設(shè)不管哪個(gè)公司開(kāi)價(jià)較低的話就可以得到整個(gè)市場(chǎng)。這些假設(shè) ——和任何的價(jià)格對(duì) ——轉(zhuǎn)換成兩個(gè)公司的收益水平。 假定收益由如下盈利矩陣給出 公司 1＼公司 2 高 中 低 高 6， 6 0， 10 0， 8 中 10， 0 5， 5 0， 8 低 8， 0 8， 0 4， 4 剔除 “ 高 ” 策略后 ， 留給我們?nèi)缦掠仃? 公司 1＼公司 2 中 低 中 5， 5 0， 8 低 8， 0， 4， 4 例 3：投票博弈 投票博弈：采用多數(shù)規(guī)則 ， 三個(gè)投票人挑選兩個(gè)議案 A或 B中的一個(gè) 。 三個(gè)投票人的真實(shí)偏愛(ài)如下： 投票人 1： 投票人 2： 投票人 3： BNA ??NAB ??BAN ??每一個(gè)策略有三個(gè)分量：策略 A（ 后面跟 ） AN是指“ 投 A的票而反對(duì) B， 然后在第 Ⅱ 輪中投 A的票 （ 反對(duì)N） ， 或投 N的票 （ 反對(duì) B） 。 在第 Ⅱ 輪中真實(shí)地投票優(yōu)于非真實(shí)性投票；于是 ， 對(duì)投票人 1來(lái)說(shuō) ， AAN優(yōu)于 ANN, ANB， 和 AAB。 由同樣的邏輯推理 ， 對(duì)于局中人 2， 作為第 Ⅱ 輪中的投票策略 ， AB優(yōu)于 NB, NN, 和 AN；對(duì)局中人３ ， 第 Ⅱ 輪的投票策略 NN優(yōu)于其他策略 。 剔除了 （ 第 Ⅱ 輪非真實(shí)的 ） 劣策略后 ， 策略型如下 投票人３采用 ANN 投票人１＼投票人２ AAB BAB AAN 1, 0, 0 1, 0, 0 BAN 1, 0, 0 0, 1, 1 投票人３采用 BNN 投票人１＼投票人２ AAB BAB AAN 1, 0, 0 1, 1, 1 BAN 0, 1, 1 0, 1, 1 現(xiàn)在看到，對(duì)局中人１， AAN優(yōu)于 BAN，對(duì)局中人２ AAB優(yōu)于BAB，而對(duì)局中人３， BNN優(yōu)于 ANN。 案例研究：選舉聯(lián)合國(guó)秘書(shū)長(zhǎng) 考慮有兩個(gè)投票人的選舉 ——假如為美國(guó)與非洲 。 然后 ， 投票人 2——非洲 ——否決兩個(gè)余下的候選人中的一位 。 在第 Ⅰ 輪 ， 局中人 i的劣策略集表示為 Di(I)， 換言之 ， Di(I) = ?si?Si: si是劣策略 ? 理性的局中人不會(huì)采用劣策略 。 進(jìn)入第 Ⅱ 輪 ， 局中人 i可以在留給自己的策略集 Si ? Di(I)中作進(jìn)一步的決定 ， 看看它們當(dāng)中是否又有哪些現(xiàn)在成為劣策略了 。 于是， 其中， Si ? Di(I)是除了局中人 i以外的所有局中人的非劣策略組合的集合 [1] 。一旦知道了沒(méi)有一個(gè)局中人會(huì)采用屬于 Di (Ⅱ )中的策略，繼續(xù)剔除任何這樣的步驟，現(xiàn)在又成為劣的那些策略。如此等等 。 iiiiiiiii sIDSssss ????? ??? 中所有的對(duì) )(),(),( ??iiiiiiiii sIDSssss ????? ??? ?)()?,()?,( 中某些的對(duì)??假如我們最終達(dá)到這樣一個(gè)狀態(tài) ， 剩給每一個(gè)局中人的只有一個(gè)策略 ， 即 ， 假定經(jīng)過(guò) T輪剔除之后 ， 剩下的集合 Si ? Di(T)， 恰好包含了一個(gè)策略 ， 并且這一事實(shí)對(duì) i = 1, 2,… , N都成立 。 假如這樣的情況不發(fā)生 ——如果在某一輪 ， 對(duì)某些局中人 ， 盡管仍然留下多個(gè)策略 ，但是沒(méi)有更多的策略可以被剔除 ——博弈就稱(chēng)為沒(méi)有 IEDS解 。 沒(méi)有局中人會(huì)采用 ，那些一旦其他的劣策略被剔除之后成為了劣策略的策略 ，這件事看來(lái)也是合理的 。 這是因?yàn)樗俣?， 每個(gè)人都同意在連續(xù) （ 14次 ） 高次數(shù)地剔除行動(dòng)中所有的人都是理性的 ?？紤]下述博弈： 1＼ 2 左 中心 右 頂 4， 5 1， 6 5， 6 中間 3， 5 2， 5 5， 4 底 2， 5 2， 0 7， 0 理性的層次 剔除的順序 （和非唯一的結(jié)局） 當(dāng)策略是劣的但不是強(qiáng)劣的 ， 剔除的順序就要緊了 。 1＼ 2 左 右 頂 0， 0 0， 1 底 1， 0 0， 0 不存在性。 例如 ， 在性別爭(zhēng)端 、 扔硬幣打賭和布魯特上校中 ， 不存在劣策略 ， 因而 ， 不存在 IEDS結(jié)局 。 1＼ 2 左 中 差 頂 1， 1 1， 1 0， 2 中 1， 1 1， 1 0， 2 差 2， 0 2， 0 2， 2 總 結(jié) 1. 沒(méi)有一個(gè)理性的局中人會(huì)采用劣策略 ， 他寧愿采用一個(gè)非劣的策略 。 2. 劣策略的剔除可以導(dǎo)致一系列連鎖反應(yīng) ， 逐步縮小一組局中人采取行動(dòng)的范圍 。 3. 當(dāng)在 IEDS解中包含有許多輪次的剔除時(shí) ，有理由去關(guān)心其預(yù)測(cè)的合理性 。 策略向量 s* = s1* , s2*, … sN*, 如果滿(mǎn)足條件： 對(duì)所有 i與所有 si 則稱(chēng) s*是 納什均衡 。 生物學(xué)家看到雌蜘蛛經(jīng)常為已有的蜘蛛網(wǎng)爭(zhēng)斗 ——或者幾乎是爭(zhēng)斗；兩只雌性并排在網(wǎng)前 ， 并且作出諸如猛烈地?fù)u晃網(wǎng)這樣的威脅姿態(tài) （ 雖然它們很少有真正的肉體接觸 ） ， 當(dāng)一只蜘蛛撤退而留下另一只單獨(dú)地占有蜘蛛網(wǎng)時(shí) ， 沖突就得到了解決 。 此外 ， 沖突的勝利者常常從失敗者那兒 “ 以不同的方式獲得 ” 某種維持生命必需的東西 。 蜘蛛 1＼蜘蛛 2 認(rèn)輸（ c） 戰(zhàn)斗（ f） 認(rèn)輸（ c） 5， 5 0， 10 戰(zhàn)斗（ f） 10， 0 x， x IEDS和納什均衡之間的一般關(guān)系 命題 考慮任何具有 IEDS結(jié)局的博弈。但是，不是每一個(gè)納什均衡可作為 IEDS結(jié)局而得到。 那么 ， 這個(gè)策略選擇就是關(guān)于對(duì)手該策略選擇的最優(yōu)反應(yīng) 。 那么這個(gè)策略組合是納什均衡 。 它可以有各種各樣的方式來(lái)產(chǎn)生 。 IEDS解必定是納什均衡 ， 但是 ， 存在著可能不是 IEDS解的納什均衡 。 第 5章 應(yīng)用：古諾特雙頭賣(mài)主壟斷 基本模型 古諾特 納什均衡 卡特爾解 基本模型 古諾特提出的模型中，兩家公司關(guān)于同類(lèi)產(chǎn)品在市場(chǎng)上競(jìng)爭(zhēng)。 而 Q = Q1 + Q2是由公司 1和公司 2生產(chǎn)的總量 。 更正規(guī)一些 ， 每家公司具有常數(shù)邊際成本函數(shù)；生產(chǎn)數(shù)量 Qi的成本為 cQi， 其中 c 0是常數(shù)邊際成本 ，i = 1， 2。 這一步將給于公司一個(gè)有關(guān)可能的市場(chǎng)價(jià)格的想法；例如 ， 如果它認(rèn)為對(duì)手將生產(chǎn)大量產(chǎn)品 ， 那么 ， 不管它自己生產(chǎn)多少 ， 價(jià)格將偏低 。 為做出這個(gè)決定 ， 公司必須權(quán)衡從增加產(chǎn)量得到的好處 ——那樣 ， 它將出售較多產(chǎn)品 ——以及這樣做所需要的成本 ——即 ， 這些大量的產(chǎn)品將以較低價(jià)格出售 （ 而它們不得不以較高的總成本生產(chǎn) ） 。 古諾特 納什均衡 ? 最大化利潤(rùn)的生產(chǎn)量 ? 公司 1最優(yōu)反應(yīng)函數(shù) *121 ])([1 QcbaM a x Q ???????????????bcaQbcaQbbQcaQR22221,0,2)(如果如果 Q2 ( a c ) / 2 b 0 R1 R2 Q1 ( a c ) / 2 b ( a c )/ b ( a c )/ b 卡特爾解 作為對(duì)比，如果兩個(gè)公司如卡特爾那樣地運(yùn)作，即，如果它們對(duì)于它們的生產(chǎn)決策進(jìn)行協(xié)調(diào)，我們來(lái)計(jì)算它們將生產(chǎn)的產(chǎn)量，如果公司經(jīng)營(yíng)為卡特爾，可以合理地假設(shè)它們以最大化它們的聯(lián)合利潤(rùn) ——或總利潤(rùn)這樣的方式來(lái)設(shè)置生產(chǎn)目標(biāo)。在納什均衡中 ， 兩家公司比起它們象卡特爾那樣經(jīng)營(yíng)來(lái)利潤(rùn)較低 （ 因?yàn)樵诩{什均衡里 ，它們過(guò)度地生產(chǎn) ） 。 限制享用是行不通的 （ 考慮環(huán)境問(wèn)題 ） 和不可取的 （ 考慮國(guó)家公園 ） 。 使用資源的人越多 ——或者每個(gè)人使用資源越密集 ——未來(lái)的資源就越少 。兩個(gè)局中人中的每一個(gè)可以提取一個(gè)非負(fù)量 ——c1或 c2——用于消費(fèi) ， 當(dāng)然 ，假設(shè) c1 + c2 ? y。 當(dāng)總的消費(fèi)量少于 y時(shí) ， 剩余量 y – (c1 + c2),形成了未來(lái)資源的基底 ， 未來(lái)的消費(fèi)出自于這個(gè)量 。 在第 2個(gè)周期中，每一個(gè)局中人必須確定從可利用量 y – (c1 + c2) 內(nèi)有多少可供消費(fèi)。于是每個(gè)局中人將樂(lè)意盡可能多地消費(fèi)，因而，在第 2周期，他們平分余下的總量 ——每個(gè)人得到 。他的效用依賴(lài)于局中人 2選擇的消費(fèi)量，因?yàn)楹笳撸ú糠值兀Q定了剩下來(lái)的資源基底的大小。換句話說(shuō)，局中人 1的最優(yōu)反應(yīng)問(wèn)題是 2)(l o gl o g 2111ccycM a xc???局中人 1的最優(yōu)反應(yīng)消費(fèi)量是 同樣的推理，求出局中人 2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù) )(11211 ccyc ???)( 211 ccyc ???或 2)( 112 cycR ??納什均衡為 c1*= c2*= y/3 社會(huì)最優(yōu)性 定義 消費(fèi)模式 ， 如果它們使兩個(gè)局中人的效用之和最大化 ， 即 ， 如果它們是下述問(wèn)題的解： 則稱(chēng) 是社會(huì)最優(yōu)的 。 2)(l og2l ogl og 2121, 21ccyccM axcc????4?? 21 ycc ??21 ?,? cc21 ?,? cc在這種情況，正好一半資源用于第 1個(gè)周期 ——與納什均衡相比，那里用于第 1個(gè)周期的資源有三分之二之多。 在人口眾多時(shí)問(wèn)題更糟 如果局中人 1猜測(cè)其他人在第 1個(gè)周期消費(fèi)的量將是，那么他的效用 最大化消費(fèi)由下列最優(yōu)化問(wèn)題確定： 納什均衡 在納什均衡中的總消費(fèi)量是 。當(dāng) N變大時(shí)，第 2周期可使用的資源量變得微乎其微。 NcNcycM a x ])1([l o gl o g 11????121 ???? Nycc ?yNN 1?第 7章 混合策略 ?定義 ?含義 ?混合策略可以?xún)?yōu)于某些純策略 ?混合策略能虛張聲勢(shì) ?混合策略和納什均衡 定義 假設(shè)局中人有 M個(gè)純策略， s1, s2, … ,sM。 ? ? ?Mk kp1 1Mkp 1?計(jì)算期望盈利分兩步走： 第一步 ， 對(duì)每一個(gè)純策略的盈利使用采取該策略的概率進(jìn)行加權(quán) 。 定義 現(xiàn)在假設(shè)其他局中人也采用混合策略；假如 ，以概率 q取策略 si， 而以概率 1 – q采用策略s*i。 考慮由概率向量（ p1, p2, …, pM）給出的混合策略。 一個(gè)混合策略的期望盈利就是組成這個(gè)混合策略支撐部分的純策略盈利的平均值。換句話說(shuō)，如果策略 s1和 s3對(duì)于 si可產(chǎn)生最高盈利，那么，只包含這兩個(gè)純策略的混合策略將比也包含了策略 s2, s4, …, sM在內(nèi)的任何一個(gè)混合策略產(chǎn)生更高的盈利。 （