【正文】 * ( , )( , ) ( , ) ( . )x x p mv p m L x λ λ 2 3mm ??? ????0px xuxxL iii???????? ?? )(),( 0pi ? 0xxui??? )(0??0m mpv ???? ?),(12/51 169。用與證明性質(zhì) 3相同的方法，可得： ? 由于： ， ，因此： 即性質(zhì) 4得證 0p mpvi??? ),(* ( , )( , ) ( , ) ( . )iii x x p mv p m L x λ λ x 2 4pp ??? ? ? ? ???0?? 0xi ?0xp mpv ii?????? ?),(13/51 169。我們只要證明：令 21 1? ?? ?? ???????1122:::ttB x p x mB x p x mB x p x m12?tB B B 12? ? ?,tx B x B x B但121? ? ? ?()tp x tp x t p x m12??,p x m p x m112212111? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????( ) ( )( ) ,( , )ttttp x m t p x t mp x m t p x t mt p t p x m p x m x Bx B p m與 矛盾ampvampvaBBBBBxxuBxxumpvttt??????),(),(,)(m a x)(m a x),(212121和因?yàn)橐驗(yàn)閷儆跐M足屬于滿足??14/51 169。 ? 羅伊恒等式的證明：將等式 ()除以等式 ()可得證。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU Roy恒等式的其它證明方法： ? 以上我們利用包絡(luò)定理證明了 Roy恒等式，但還有其它方法可以證明，試按下面的方法證明之： ? 直接從間接效用函數(shù)的定義出發(fā)，使用效用最大化的一階條件（ FOC） 16/51 169。消費(fèi)者的這種最優(yōu)選擇問(wèn)題也可以從另一個(gè)角度考慮，即為了獲得既定的效用水平，消費(fèi)者如何選擇商品，以使自己的支出最小，這就是所謂的支出最小化問(wèn)題。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 支出最小化問(wèn)題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) ? 支出最小化問(wèn)題的基本形式 ? 支出最小化問(wèn)題的均衡解 ? ?？怂剐枨蠛瘮?shù) 18/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、均衡解與?？怂购瘮?shù) ? 構(gòu)建支出最小化問(wèn)題的拉格朗日函數(shù) ? 根據(jù)支出最小化一階條件： ? 根據(jù)（ ）和（ ）可得： （ ?？怂剐枨蠛瘮?shù) ） ? 希克斯需求函數(shù)是一個(gè)關(guān)于價(jià)格和效用水平的函數(shù)，它刻畫(huà)了在既定價(jià)格和效用水平下，消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)支出最小化時(shí)對(duì)商品的需求量。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 支出函數(shù)及其性質(zhì) ? 支出函數(shù)的定義 ? 支出函數(shù)的性質(zhì) 21/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、支出函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù) u(x)在上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的 ， 那么支出效用函數(shù) e(p,u)就一定具有以下幾個(gè)性質(zhì)： ? 性質(zhì) 1： e(p,u) 在 上連續(xù) ； ? 性質(zhì) 2： e(p,u) 是 關(guān)于 p的一階齊次函數(shù)； ? 性質(zhì) 3： e(p,u)是關(guān)于 p的非遞減函數(shù)； ? 性質(zhì) 4： e(p,u)是關(guān)于 u的嚴(yán)格遞增函數(shù) ? 性質(zhì) 5： e(p,u)是關(guān)于 p的凹函數(shù) nn RR ??? 上述性質(zhì)的證明方法與間接效用函數(shù)性質(zhì)的證明方法類似，因此這里我們不給出以上性質(zhì)的的證明過(guò)程，留做習(xí)題。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 謝潑德引理 (Shephard) ? 謝潑德引理是說(shuō)：若支出函數(shù) e(p,u)已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)支出函數(shù)可以直接推導(dǎo)出?？怂剐枨蠛瘮?shù) 即： ? 也就是說(shuō)，給定支出函數(shù)，我們只需對(duì)其求關(guān)于 p的導(dǎo)數(shù)便可得到消費(fèi)者的?？怂购瘮?shù)，這一結(jié)論就是所謂的謝潑德引理，它刻畫(huà)了支出函數(shù)與?？怂剐枨蠛瘮?shù)之間的關(guān)系。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 謝潑德引理的證明 ? 由支出函數(shù) 可知， 中的 x是最優(yōu)消費(fèi)束，即 ，而 x*又是關(guān)于參數(shù) p和u的函數(shù)。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 對(duì)偶原理 消費(fèi)者的效用極大化問(wèn)題和支出最小化問(wèn)題是一對(duì)對(duì)偶問(wèn)題，因?yàn)閮烧叩男袨樵瓌t是一致的，只是目標(biāo)函數(shù)和約束條件正好相反。 ? 幾個(gè)重要恒等式 ? 對(duì)偶原理的圖示 26/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、恒等式 1： ? 恒等式 1說(shuō)的是，價(jià)格為 p、收入 m為時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)恰好等于價(jià)格為 p、效用水平為 v(p,m)（即在價(jià)格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時(shí)的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、恒等式 2： ? 恒等式 2說(shuō)得是，價(jià)格為 p、效用水平為 u時(shí)的?？怂剐枨蠛瘮?shù)恰好等于價(jià)格為 p、收入為 e(p,u)（即在價(jià)格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、恒等式 2： ? 恒等式 2說(shuō)得是，價(jià)格為 p、效用水平為 u時(shí)的?？怂剐枨蠛瘮?shù)恰好等于價(jià)格為 p、收入為e(p,u)（即在價(jià)格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)。 ? 假定上述效用最大化的解為 且，因此 ,由于 u是連續(xù)嚴(yán)格遞增函數(shù)，因此必然有一個(gè) x’’滿足 ，因此有： ? （ 1）意味著消費(fèi)束 x’’ 屬于支出最小化問(wèn)題的可行集；（ 2）意味著購(gòu)買(mǎi) x’’的支出要小于購(gòu)買(mǎi) x’的支出，這意味著 不是支出最小化問(wèn)題的解的結(jié)論，這與假設(shè)矛盾，因此恒等式 2得證。, 39。) [ ( , ) ]hu x u x p u???( ( , ) ) ( 39。 ) ( 39。39。 ( 2 ) 39。 39。39。u x u x x px px mm in. . ( )???????pxs t u x u30/51 169。 對(duì)應(yīng)的收入水平是 m，而 所 對(duì)應(yīng)的收入水平就是 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU D、恒等式 4 ： ? 恒等式 4說(shuō)的是，價(jià)格為 p、收入為 e(p,u)（即在價(jià)格為 p且效用為 u情況下所支付的最小支出）時(shí)的最大效用恰好等于 u。 對(duì)應(yīng)的效用水平是 u，而 所對(duì)應(yīng)的效用水平就是 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 圖 21：幾個(gè)恒等式的說(shuō)明 x1 p1 x1(