【正文】 x x p mv p m L x λ λ x 2 4pp ??? ? ? ? ???0?? 0xi ?0xp mpv ii?????? ?),(13/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 性質(zhì) 5的證明： ? 即要證明，對(duì)于所有的 a， 是一個(gè)凸集 ? 假設(shè) p1和 p2滿足 定義預(yù)算集： 可以斷言： ，若不然，存在某個(gè) x： 這意味著： 但： ，這顯然不可能 因此： ? ?p v p m a: ( , ) ???12( , ) , ( , )v p m a v p m a ampvpttpp tt ???? ),()( 。我們只要證明：令 21 1? ?? ?? ???????1122:::ttB x p x mB x p x mB x p x m12?tB B B 12? ? ?,tx B x B x B但121? ? ? ?()tp x tp x t p x m12??,p x m p x m112212111? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????( ) ( )( ) ,( , )ttttp x m t p x t mp x m t p x t mt p t p x m p x m x Bx B p m與 矛盾ampvampvaBBBBBxxuBxxumpvttt??????),(),(,)(m a x)(m a x),(212121和因?yàn)橐驗(yàn)閷儆跐M足屬于滿足??14/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 羅伊恒等式 （ Roy’s identity） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v(p,m)已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)其可以直接推導(dǎo)出馬歇爾需求函數(shù) x(p,m)， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。 ? 羅伊恒等式的證明：將等式 ()除以等式 ()可得證。 ? 一個(gè)例子：見例題 ( , )( , )( , )iiv p m px p mv p m m??????15/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU Roy恒等式的其它證明方法： ? 以上我們利用包絡(luò)定理證明了 Roy恒等式，但還有其它方法可以證明，試按下面的方法證明之： ? 直接從間接效用函數(shù)的定義出發(fā)，使用效用最大化的一階條件（ FOC） 16/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 消費(fèi)者最優(yōu)選擇：支出最小化問題 上一節(jié)討論的是消費(fèi)者在既定的收入約束下如何選擇商品，以使自己獲得最大的效用。消費(fèi)者的這種最優(yōu)選擇問題也可以從另一個(gè)角度考慮，即為了獲得既定的效用水平，消費(fèi)者如何選擇商品，以使自己的支出最小，這就是所謂的支出最小化問題。 ? 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) ? 支出函數(shù)及其性質(zhì) ? ?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)的關(guān)系：謝潑德引理 17/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) ? 支出最小化問題的基本形式 ? 支出最小化問題的均衡解 ? ?？怂剐枨蠛瘮?shù) 18/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、均衡解與?？怂购瘮?shù) ? 構(gòu)建支出最小化問題的拉格朗日函數(shù) ? 根據(jù)支出最小化一階條件： ? 根據(jù)（ ）和（ ）可得： （ 希克斯需求函數(shù) ） ? ?？怂剐枨蠛瘮?shù)是一個(gè)關(guān)于價(jià)格和效用水平的函數(shù)，它刻畫了在既定價(jià)格和效用水平下，消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)支出最小化時(shí)對(duì)商品的需求量。 [ ( ) ] ( . )0L p x λ u x u 2 7? ? ? ?() , , ( . )i i iiiL u xp λ p λu 0 i 1 n 2 8xx??? ? ? ? ? ?[ ( , ) ] ( . )1 2 0L u x x u 0 2 9λ? ? ? ? ??* * ( , )x x p u?20/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 支出函數(shù)及其性質(zhì) ? 支出函數(shù)的定義 ? 支出函數(shù)的性質(zhì) 21/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出函數(shù)的定義 ? 將支出最小化問題的解代如其目標(biāo)函數(shù)而得到的函數(shù)即為支出函數(shù)，記為 e(p,u): ),(),( upxpupe h??( , ) m in . : ( ) ( . )n 0xRe p u p x s t u x u 2 1 0?? ? ?＋即： ，22/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、支出函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù) u(x)在上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的 ， 那么支出效用函數(shù) e(p,u)就一定具有以下幾個(gè)性質(zhì)： ? 性質(zhì) 1： e(p,u) 在 上連續(xù) ； ? 性質(zhì) 2： e(p,u) 是 關(guān)于 p的一階齊次函數(shù)； ? 性質(zhì) 3： e(p,u)是關(guān)于 p的非遞減函數(shù)； ? 性質(zhì) 4： e(p,u)是關(guān)于 u的嚴(yán)格遞增函數(shù) ? 性質(zhì) 5： e(p,u)是關(guān)于 p的凹函數(shù) nn RR ??? 上述性質(zhì)的證明方法與間接效用函數(shù)性質(zhì)的證明方法類似，因此這里我們不給出以上性質(zhì)的的證明過程，留做習(xí)題。 23/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 謝潑德引理 (Shephard) ? 謝潑德引理是說：若支出函數(shù) e(p,u)已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)支出函數(shù)可以直接推導(dǎo)出?？怂剐枨蠛瘮?shù) 即： ? 也就是說，給定支出函數(shù)，我們只需對(duì)其求關(guān)于 p的導(dǎo)數(shù)便可得到消費(fèi)者的希克斯函數(shù)，這一結(jié)論就是所謂的謝潑德引理，它刻畫了支出函數(shù)與?？怂剐枨蠛瘮?shù)之間的關(guān)系。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 1 1p? ????24/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 謝潑德引理的證明 ? 由支出函數(shù) 可知， 中的 x是最優(yōu)消費(fèi)束，即 ，而 x*又是關(guān)于參數(shù) p和u的函數(shù)。根據(jù)包絡(luò)定理，對(duì) e(p,u)求 的導(dǎo)數(shù)，只要對(duì)支出函數(shù) 的拉格朗日函數(shù)求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)即可： ? 一個(gè)例子：見例 ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋， nRx xp???min),( upxxx hii ?? ?ip( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋， ip),(*),(),( upxxpxLp upe hiiii??????? ?25/51 16