消費(fèi)者理論：需求ppt課件-在線瀏覽
2025-06-18 07:48本頁面
【正文】 ?從而： u(x)= u(x(p,m)) ≡v(p,m) ? v(p,m)稱為間接效用函數(shù) ?Def： 間接效用函數(shù) v(p,m)是效用最大化問題的值函數(shù)： v(p,m) ＝ Max x?0 u(x) . p?x=m Public Finance Consumer’s Theory 10 間接效用函數(shù) ?構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： ?L(x,λ,p,m)=u(x1,x2)+ λ(mp1x1p2x2) ?顯然，由包絡(luò)定理，有： ***( , )mm x.v p m ???? ????L**i**ii( , ) ( , )p x.v p m x p mp???? ? ? ???L??mv),( mpxv ip i ???Public Finance Consumer’s Theory 11 間接效用函數(shù)的性質(zhì) ?假設(shè) u(x)連續(xù)、遞增； p187。 ?Prop. 1： v(p,m)在 上是連續(xù)函數(shù) ?Prop. 2： v(p,m)是 (p,m)的零次齊次函數(shù) v(tp,tm)=v(p,m), ? t0 ? 證明： ? t0, B(tp,tm)=B(p,m), 從而x(tp,tm)=x(p,m), v(tp,tm)=v(p,m)。 ? 證明 2：若 u(x)可微，則由 包絡(luò)定理， ? 若偏好還滿足局部非飽和性， v(p,m)是 m的嚴(yán)格遞增函數(shù) ?Prop. 4： v(p,m)是 p的遞減函數(shù) ? 證明 1： ? p?p’， B(p’,m) B(p,m)，從而 v(p,m) ? v(p’,m)。 ?從而間接效用函數(shù)有反函數(shù)： ? 給定 ?效用水平 u，都可以找到價(jià)格 p下實(shí)現(xiàn) u的最小收入 m ?支出最小化問題 (EMP) Minx e=px=m x(p,m): 馬歇爾需求函數(shù) (Marshallian demand function) ?支出最小化問題（ EMP）： Min x?0 pu) ＝ Min x?0 px +λ[u – u(x)] ?顯然，由包絡(luò)定理，有： *i**iie( , u )h ( , u )p x.ppp ???????LPublic Finance Consumer’s Theory 17 支出函數(shù)的性質(zhì) ?Prop. 1： e(p,u)在 上是連續(xù)函數(shù) ?Prop. 2： e(p,u)是 p的一次齊次函數(shù) e(tp,u)=te(p,u), ? t0 ? 證明：設(shè) x是 (p,u)下支出最小化問題的解。則 e (tp,u) =tp. x’ , u(x’) ? u ? 由 t0， 有： p. x’ , x不是價(jià)格 p下最小化支出的消費(fèi)束，矛盾。 n? ?R UPublic Finance Consumer’s Theory 18 支出函數(shù)的性質(zhì) ?Prop. 3： e(p,u)是 u的遞增函數(shù) ? 證明 1： B(p,u) B(p,u’)， uu’ ? 證明 2：若 e可微，由包絡(luò)定理， ?Prop. 4： e(p,u)是 p的遞增函數(shù) ? 證明：設(shè) x x2分別是 p p2下的最優(yōu)消費(fèi)束，p1≤p2。 ?*/0eu ?? ? ? ?Public Finance Consumer’s Theory 19 支出函數(shù)的性質(zhì) ?Prop. 5： e(p,u)是 p的凹函數(shù) ? 證明：設(shè) x x2分別是 p p2下的最優(yōu)消費(fèi)束，?t0，設(shè) pt=tp1+(1t)p2， xt是 pt下的最優(yōu)消費(fèi)束，則： e(pt,u)=ptxt=tp1xt+(1t)p2xt≥tp1x1+(1t)p2x2， ? 即 e(pt,u)≥te(p1,u)+(1t)e(p2,u)，從而 e(p,u)對(duì) p凹。x+ λ[uu (x)] iie ( , u )h ( , u )ppp ???),()()( uphxpLpeiiii??
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