時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)-在線瀏覽
2025-07-12 20:59本頁面
【正文】 x(n+N) = x(n) 則要求 N = (2π/ω 0)k， 式中 k與 N均取整數(shù) ， 且 k的取值要保證 N是最小的正整數(shù) ， 滿足這些條件 ， 正弦序列才是以 N為周期的周期序列 。 ：序列之間的乘法和加法 ， 是指它的 同序號的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘和相加 ， 如圖所示 。 x(n)則是 x(n)的翻轉(zhuǎn)序列 ， 用圖 (c)表示 。 當(dāng) m = 2時(shí) ，其波形如圖 (d)所示 。 設(shè) 運(yùn)算關(guān)系用 T［ 在時(shí)域離散系統(tǒng)中 ， 最重要的是 線性時(shí)不變系統(tǒng) ， 因?yàn)楹芏辔锢磉^程可用這類系統(tǒng)表征 。 將以上兩個(gè)公式結(jié)合起來 ， 可表示成： y(n)=T［ ax1(n)+bx2(n)］ =ay1(n)+by2(n) 上式中 ， a和 b均是常數(shù) 。 證明： y1(n)=T［ x1(n)］ =ax1(n)+b y2(n)=T［ x2(n)］ =ax2(n)+b y(n)= T［ x1(n)+x2(n)］ =ax1(n)+ax2(n)+b y(n)≠ y1(n)+y2(n) 因此 ， 該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng) 。］ 在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化 ， 或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān) ， 則這種系統(tǒng)稱為 時(shí)不變系統(tǒng) ， 用公式表示如下： y(n) = T［ x(n)］ y(nn0) = T［ x(nn0)］ 【 例 1】 檢查 y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng) ， 上式中 a和 b是常數(shù) 。 時(shí)域離散系統(tǒng) 【 例 2】 檢查 y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng) 。 同樣方法可以證明 所代表的系統(tǒng) 不是時(shí)不變系統(tǒng) 。 換句話說 ， 單位取樣響應(yīng)即是系統(tǒng)對于 δ( n)的 零狀態(tài)響應(yīng) 。 x(n)表示 ， 按照上式表示成 單位采樣序列移位加權(quán)和 為 ( ) ( ) ( )mx n x m n m??? ? ????時(shí)域離散系統(tǒng) 根據(jù)線性系統(tǒng)的 疊加性質(zhì) 又根據(jù) 時(shí)不變性質(zhì) 式中的符號 “ *” 代表 卷積運(yùn)算 ， (*)式表示 線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積 。 ? 設(shè)兩序列分別的長度是 N和 M， 線性卷積后的序列長度為 N+M1。它們分別用公式表示如下： ? x(n)*［ h1(n)*h2(n)］ ? x(n)*h(n) = h(n)*x(n) = (x(n)*h1(n))*h2(n) ? x(n)*［ h1(n)+h2(n)］ = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) h1( n ) h2( n )h1( n ) h2( n )y ( n )x ( n )y ( n )x ( n )h1( n ) ＋ h2( n )y ( n )x ( n )h1( n )h2( n )y ( n )x ( n )（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）*兩系統(tǒng)級聯(lián) 兩系統(tǒng)并聯(lián) 時(shí)域離散系統(tǒng) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mx n x m n m x n n???? ? ?? ? ? ??兩個(gè)有用的公式 ： 00( ) ( ) ( )( ) ( )my n x n n nx m n n m???? ? ?? ? ?? ? ??00( ) ( ) ( )( ) ( )my n x n n nx m n n m???? ? ?? ? ?? ? ??＝ x(n n0) 序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身 序列與一個(gè)移位的單位取樣序列 δ (n－ n0)的線性卷積等于序列本身移位 n0 時(shí)域離散系統(tǒng) ? 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 定義一： 如果系統(tǒng) n時(shí)刻的輸出 ， 只取決于 n時(shí)刻以及 n時(shí)刻以前的輸入序列 ， 與 n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān) ， 則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì) ， 或稱該系統(tǒng)為 因果系統(tǒng) 。 因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)在物理上的可實(shí)現(xiàn)性 。 定義三： 線性時(shí)不變系統(tǒng) 具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足下式： h(n)=0， n 0 結(jié)論： 因此 ， 因果系統(tǒng) 的單位取樣響應(yīng)必然是 因果序列 時(shí)域離散系統(tǒng) 因果性系統(tǒng)的條件從概念上也容易理解 ， 因?yàn)?單位取樣響應(yīng)是輸入為 δ( n)的零狀態(tài)響應(yīng) ， 在 n=0時(shí)刻以前即 n0時(shí) ， 沒有加入信號 ，輸出只能等于零 ， 因此得到因果性條件如上式 。 時(shí)域離散系統(tǒng) 0 1 21nx ( n )0 1－ 11nh ( n )0 1 21nh ( n )（ a ） （ b ） （ c ）0 1 21ny ( n )3－ 1230 1 21ny ( n )323（ d ） （ e ）′′非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn) 先存儲，后捐據(jù)計(jì)算 進(jìn)行卷積計(jì)算 時(shí)域離散系統(tǒng) ? 穩(wěn)定系統(tǒng)： 是指系統(tǒng) 有界輸入 ，系統(tǒng) 輸出也是有界 的。 解： 由于 n 0時(shí)， h(n)=0，所以系統(tǒng)是 因果系統(tǒng) 。 ()nhn???????1001( ) l i m l i m nNnnNNn n nah n a aa? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ?1()1n hn a?? ? ?? ??時(shí)域離散系統(tǒng) 【 例 2】 設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) h(n)=u(n)， 求對于任意輸入序列 x(n)的輸出 y(n)， 并檢驗(yàn)系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 。下面分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性： ( ) ( )kx k u n k?? ? ???( ) ( )nky n x k? ? ?? ?0( ) ( )nnh n u n??? ? ? ?? ? ???因果系統(tǒng) 不穩(wěn)定系統(tǒng) 時(shí)域離散系統(tǒng) 【 例 3】 判斷下列差分方程系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 ? 對于 模擬系統(tǒng) ，由 微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間 的關(guān)系 ? 對于 時(shí)域離散系統(tǒng) ，則用 差分方程描述 或研究輸出輸入之間的關(guān)系。 （ 1）線性常系數(shù)差分方程 一個(gè) N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示： 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法－線性常系數(shù)差分方程 式中， x(n)和 y(n)分別是系統(tǒng)的 輸入序列 和 輸出序列 ， ai和bi均為常數(shù)，式中 y(ni)和x(ni)項(xiàng)只有一次冪 ，也沒有相互 交叉項(xiàng) ，故稱為 線性常系數(shù)差分方程 。在左式中， y(ni)項(xiàng) i最大的取值為 N， i的最小取值為零 ，因此稱為 N階的差分方程。 求解差分方程的基本方法有以下三種： ? 經(jīng)典解法 ：類似模擬系統(tǒng)中求解微分方程的方法 ，包括齊次解和特解 ， 由邊界條件求待定系數(shù) 。 線性常系數(shù)差分方程 【 例 1】 設(shè)系統(tǒng)用差分方程 y(n)=ay(n1)+x(n)描述 ， 輸入序列 x(n)=δ(n) ， 求輸出序列 y(n)。 (1) 設(shè)初始條件 y(1)=0 y(n)=ay(n1)+x(n) ? n=0時(shí) ， y(0)=ay(1)+δ( 0)=1 ? n=1時(shí) ， y(1)=ay(0)+δ( 1)=a ? n=2時(shí) ， y(2)=ay
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