【正文】 由于 n取整數(shù) ， 下面等式成立： e j(ω 0+2π M)n= e jω 0n, M=0,177。 1,177。 2… 時域離散信號 如果對所有 n存在一個最小的正整數(shù) N，使下面等式成立： ? x(n)=x(n+N), ∞ n∞ 則稱序列 x(n)為周期性序列，周期為 N， 注意 N要取整數(shù) 。例如： 上式中，數(shù)字頻率是 π/4 ，由于 n取整數(shù)，可以寫成下式： 上式表明 是周期為 8的周期序列，也稱正弦序列，如圖所示。 ( ) si n( )4x n n??( ) s i n ( ( 8 )4x n n???sin( / 4)n?時域離散信號 一般正弦序列的周期性 設(shè) x(n)=Asin(ω 0n+φ ) 那么 x(n+N) = Asin(ω 0(n+N)+φ ) = Asin(ω 0n+ω 0N+φ ) x(n+N) = x(n) 則要求 N = (2π/ω 0)k， 式中 k與 N均取整數(shù) ， 且 k的取值要保證 N是最小的正整數(shù) ， 滿足這些條件 ， 正弦序列才是以 N為周期的周期序列 。 序列的運算 在數(shù)字信號處理中 ， 序列有下面幾種運算 ， 它們是乘法 、 加法 、移位 、 翻轉(zhuǎn)及尺度變換 。 ：序列之間的乘法和加法 ， 是指它的 同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘和相加 ， 如圖所示 。 序列的運算 2. 移位 、 設(shè)序列 x(n)用圖 (a)表示 ， 其移位序列 x(nn0)(當 n0 =2時 )用圖 (b)表示；當 n0 0時稱為 x(n)的 延時序列 ；當 n0 0時 ， 稱為 x(n)的 超前序列 。 x(n)則是 x(n)的翻轉(zhuǎn)序列 ， 用圖 (c)表示 。 x(mn)是 x(n)序列每隔 m點取一點形成的 ， 相當于時間軸 n壓縮了 m倍 。 當 m = 2時 ，其波形如圖 (d)所示 。 時域離散系統(tǒng) 設(shè)時域離散系統(tǒng)的 輸入為 x(n)， 經(jīng)過規(guī)定的運算 ， 系統(tǒng) 輸出序列用y(n)表示 。 設(shè) 運算關(guān)系用 T［ ］ 表示 ， 輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示： y(n)=T［ x(n)］ 其框圖如圖所示 。 在時域離散系統(tǒng)中 ， 最重要的是 線性時不變系統(tǒng) ， 因為很多物理過程可用這類系統(tǒng)表征 。 y ( n )x ( n )][ ?T時域離散系統(tǒng) ? 線性系統(tǒng) 滿足 疊加原理 的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) 設(shè) x1(n)和 x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列 ， 其輸 出分別用 y1(n)和 y2(n)表示 ，即 y1(n)=T［ x1(n)］ ， y2(n)=T［ x2(n)］ 那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式： T［ x1(n)+x2(n)］ = y1(n)+y2(n) (*) T［ a x1(n)］ = a y1(n) (**) 滿足 (*)式稱為線性系統(tǒng)的 可加性 ； 滿足 (**)式稱為線性系統(tǒng)的 比列性或齊次性 ， 式中 a是常數(shù) 。 將以上兩個公式結(jié)合起來 ， 可表示成： y(n)=T［ ax1(n)+bx2(n)］ =ay1(n)+by2(n) 上式中 ， a和 b均是常數(shù) 。 時域離散系統(tǒng) 【 例 】 證明 y(n)=ax(n)+b (a和 b是常數(shù) )， 所代表的系統(tǒng) 是 非線性系統(tǒng) 。 證明： y1(n)=T［ x1(n)］ =ax1(n)+b y2(n)=T［ x2(n)］ =ax2(n)+b y(n)= T［ x1(n)+x2(n)］ =ax1(n)+ax2(n)+b y(n)≠ y1(n)+y2(n) 因此 ， 該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng) 。 用同樣的方法可以證明下式也是線性系統(tǒng) 0( ) ( ) s i n ( )4y n x n n????時域離散系統(tǒng) ? 如果系統(tǒng)對輸入信號的 運算關(guān)系 T［ ］ 在整個運算過程中不隨時間變化 ， 或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時間無關(guān) ， 則這種系統(tǒng)稱為 時不變系統(tǒng) ， 用公式表示如下： y(n) = T［ x(n)］ y(nn0) = T［ x(nn0)］ 【 例 1】 檢查 y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng) ， 上式中 a和 b是常數(shù) 。 解： y(n)= ax(n)+b y(nn0) = ax(n n0)+b T［ x(n n0)］ ＝ ax(n n0)+b y(n n0) = T［ x(n n0)］ 因此該系統(tǒng) 是時不變系統(tǒng) 。 時域離散系統(tǒng) 【 例 2】 檢查 y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng) 。 解 : y(n)=nx(n) y(nn0)=(n n0)x(n n0) T［ x(n n0)］ =nx(n n0) y(n n0)≠T ［ x(n n0)］ 因此該系統(tǒng) 不是時不變系統(tǒng) 。 同樣方法可以證明 所代表的系統(tǒng) 不是時不變系統(tǒng) 。 0( ) ( ) s i n ( )4y n x n n????時域離散系統(tǒng) ? 線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系 設(shè)系統(tǒng)的輸入 x(n)=δ( n)， 系統(tǒng)輸出 y(n)的初始狀態(tài)為零 ， 定義這種條件下系統(tǒng)輸出稱為 系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) ， 用 h(n)表示 。 換句話說 ， 單位取樣響應(yīng)即是系統(tǒng)對于 δ( n)的 零狀態(tài)響應(yīng) 。 用公式表示為 h(n)=T［ δ (n)］ h(n)和模擬系統(tǒng)中的 單位沖激響應(yīng) h(t)類似 ， 都代表系統(tǒng)的 時域特征 。 x(n)表示 ， 按照上式表示成 單位采樣序列移位加權(quán)和 為 ( ) ( ) ( )mx n x m n m??? ? ????時域離散系統(tǒng) 根據(jù)線性系統(tǒng)的 疊加性質(zhì) 又根據(jù) 時不變性質(zhì) 式中的符號 “ *” 代表 卷積運算 ， (*)式表示 線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積 。只要知道系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，按照 (*)式，對于任意輸入 x(n)都可以求出系統(tǒng)的輸出 . ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( * )mmmy n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n???? ? ??? ? ??? ? ????????????( ) [ ( ) ( )]( ) [ ( ) ( )]( ) [ ( ) ( )]( ) ( )mmmy n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n?????????????????????????() [ ( ) ( )]() [ ( ) ( )]() [ ( )(