【正文】 ??? 證明 ： 設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，且 y=g(x)滿足第二章167。 由第二章167。|)]([)( 其它 ?? yyhyhfyf xY 于是， E（ Y） = ?? ???? ?? dyyhyhyfdyyyf xY |)(39。|)]([ dxxfxgdyyhyhyf x?? 當(dāng) )(yh? 恒 0 時(shí)， E（ Y） = ? ?? ??? ??????? .)()()()()(39。 上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。 解 ：由（ ）式有 E（ W） = 222 311)( kadvakvdvvfkv ?? ?????? ?? 例 6 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X,Y）的概率密度為 ? ? ??? ?????? 其它,0 ,1,100, yxyxyxf ，試求 XY的數(shù)學(xué)期望。如到季末尚有剩余商品，則每公斤凈虧損 l 元 .設(shè)某商店在季度內(nèi)這種商品的銷售量 X(以公斤計(jì) )是一隨機(jī)變量， 在區(qū)間 (s1， s2)上服從均勻分布。 （四） 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 現(xiàn)在來證明數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)（以下設(shè) 所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在） 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 1 設(shè) C 是常數(shù)，則有 ()EC C? 。 4 設(shè) X 、 Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 ( ) ( ) ( )E XY E X E Y? 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況。 又若 X,Y 相互獨(dú)立， E（ XY） =? ???? ??? dxdyyxxyf ),( =? ???? ??? dx dyyfxxyf YX )()( = )()()()( YEXEdyyyfdxxxf YX ????????????? ?? ?????? ， 4 得證 例 11 一民航送客車載有 20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有 10 個(gè)車站可以下車。 解 ： 引入隨機(jī)變量???? 站有人下車，在第 站無人下車在第 i1 i,0x i=1,2,?， 10 易知 X=X1+X2+?? +X10，現(xiàn)在來求 E（ X） 按題意，任一旅客在第 i站不下車的概率為 109 ，因此 20位旅客都不在第 i站下車的概率為 20109??????，遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 在第 i站有人下車的概率為 1— 20109??????，也就是 P{X=0}= 20109??????， P{Xi=1}=1— 20109??????,i=1,2,?， 10 由此， E（ Xi） =1— 20109??????,i=1,2,?， 10 進(jìn)而 E（ X） = E（ X1+X2+?? +X10） =E（ X1） +E（ X2） +?? +E（ X10） =10 [1— 20109??????]=（次） 本題是將 X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望的，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解 E（ V） =E（ IR） =E（ I） E（ R） = ???????????? ?? ?????? drrrhdiiig )()( = 2332 30310 2 ????????????? ?? drrdii。計(jì)算如下： 0000001( ) ( )()| ( ) |xxxx x xE X x f x dx x e dxxx e d x dex e e dx e???? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? 6． 正態(tài)分布 X～ 2( , ), ( )N E X? ? ??則 這里計(jì)算了一些，沒計(jì)算的由學(xué)生自己計(jì)算。 (七 ) 課堂練習(xí) P139 1 15。 2 方差 教學(xué)目的： 使學(xué)生理解掌握隨機(jī)變量的方差概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算具體分布的方差，熟記常見分布的方差 。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ： 方差的性質(zhì)、具體分布的方差的計(jì)算 。 教學(xué)過程： 上節(jié)課，我們研究了隨即變量的重要 數(shù)字特征 —— 數(shù)學(xué)期望。但在一些實(shí)際問題中，僅知道平均值是不夠的，因?yàn)樗泻艽蟮木窒扌?，還不能夠完全反映問題的實(shí)質(zhì)。所以由此并不能比較出哪類手表走得好，但我們從直覺上易得出甲類手表比乙類手表走得較準(zhǔn)，這是由于甲的日走時(shí)誤差與其平均值偏離度較小，質(zhì)量穩(wěn)定。 （一） 方差的概念 定義 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，若 ? ?2[ ( )]E X E X? 存在，則稱 ? ?2[ ( )]E X E X? 為 X 的方差，記為 ()DX或 ()Var X 。并稱 ()DX 為 X 的 標(biāo)準(zhǔn)差或均方差 。 按此定義，若 X 是離散型隨機(jī)變量，分布律為 ? ? , 1, 2 ,kkP X x p k? ? ?? ,則 21( ) [ ( ) ]kkKD X x E X p????? 若 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 ()fx，則 2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x??????? 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 方差常用下面公式計(jì)算： 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X?? 事實(shí)上 ()DX ? ? ?2[ ( )]E X E X? ? ?222 ( ) ( )E X X E X E X? ? ? 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X E X E X E X E X E X? ? ? ? ? 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 ()EX?? ，方差 2()DX ?? 0? ， 記 xX ??? ??，則 ( ) 0 , ( ) 1E X D X???? 解 11( ) ( ) [ ( ) ] 0E X E X E X????? ? ? ? ? ?。 注意：這里 X 不一定是正態(tài)隨機(jī)變量。 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有（ 01）分布，其分布 律為： P{X=0}=1p,P{X=1}=p，求 D（ X）。 (1P） +1 (1p)+12 解 : X的分布律為： ， k=1,2,?，λ 0. 上 節(jié)例 6 已算得 E（ X） =λ，而 E(X2)=E[X(X1)+X]=E[X(x1)]+E(X)= = 所以方差： D（ X） =E（ X） [E（ X） ]2=λ 由此可知，泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差相等，都等于參數(shù)λ，因?yàn)椴此煞植贾缓粋€(gè)參數(shù)λ，只要知道它的數(shù)學(xué)期望或方差就能完全確定它的分布了。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 :X的概率密度為： ()fx 1 ,0,a x bba? ???? ???? 其 它 而2)( baXE ??，方差為 例 5 設(shè)隨機(jī)變量 X服從指數(shù)分布，其概率密度為 ? ????????? ?.0,0,0,1xxexf x ?? 其中θ 0，求 E（ X）， D（ X） 解 : 于是 即有 ， （二） 方差的幾個(gè)重要性質(zhì)： 10 設(shè) C 是常數(shù)，則 D（ C） =0。 40 設(shè) D（ X） =0 的充要條件是 X以概率 1取常數(shù) C，即 P{X=C}=1，顯然這里 C=E(X). 證明 10 D(C)=E{[CE(C)]2}=0 20 D(CX)=E{[CXE(CX)]2}=C2E{[XE(X)]2}=C2D(X). 30 D(X+Y)=E{[(X+Y)E(X+Y)]2}= E{[(XE(X))+(YE(Y))]2} 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 = E{ (XE(X))2}+E{(YE(Y))2}+2E{[XE(X)][YE(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]} 上式右端第三項(xiàng) : 2E{[XE(X)][YE(Y)]} = 2E{XYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y) } =2{ E (XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X