成人高考專升本高等數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料-在線瀏覽
2024-11-03 10:33本頁面
【正文】 當(dāng) x從 0的左 邊 無限地 趨 于 0 時 f（ x）無限地 趨 于一個常數(shù) 1。我 們 稱當(dāng) x→ 0 時 ， f（ x）的右極限是 1，即有 顯 然，擊數(shù)的左極限 右極限 與擊數(shù)的極限 之 間 有以下關(guān)系： 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 定理 x→ x0時 ，擊數(shù) f（ x）的極限等于 A 的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A， 則 必有 。 x→∞ 時 ，擊數(shù) f（ x）的極限 （ 1）當(dāng) x→∞ 時 ，擊數(shù) f（ x）的極限 y=f(x)x→∞ f(x)→ ? y=f(x)=1+ x→∞ f(x)=1+ → 1 定 義對 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→∞ 時 ， f（ x）無限地 趨 于一個常數(shù) A， 則 稱當(dāng) x→∞ 時 ，擊數(shù) f（ x）的極限是 A， 記 作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→∞ 時 ） （ 2）當(dāng) x→ +∞ 時 ，擊數(shù) f（ x）的極限 定 義對 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→ +∞ 時 ， f（ x）無限地 趨 于一個常數(shù) A， 則 稱當(dāng) x→ +∞ 時 ，擊數(shù) f（ x）的極限是 A， 記 作 這 個定 義 與數(shù)列極限的定 義 基本上一 樣 ，數(shù)列極限的定 義 中 n→ +∞的 n 是正整數(shù)；而在 這 個定 義 中，則 要明確寫出 x→ +∞，且其中的 x不一定是正整數(shù)，而 為 仸意 實(shí) 數(shù)。 例如擊數(shù) ，當(dāng) x→ ∞ 時 ， f（ x） 無限地 趨 于常數(shù) 1，當(dāng) x→ +∞ 時 ， f（ x）也無限地 趨 于同一個常數(shù) 1，因此稱當(dāng) x→∞ 時 的極限是 1， 記 作 其幾何意 義 如 圖 3 所示。 但是 對 擊數(shù) y=arctanx 來 講 ，因 為 有 即 雖 然當(dāng) x→ ∞ 時 ， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞ 時 ， f（ x）的極限也存在，但 這 兩個極限不相同，我 們 只能 說 ，當(dāng) x→∞ 時 ， y=arctanx 的極限不存在。 但是 對 擊數(shù) y=arctanx 來 講 ，因 為 有 即 雖 然當(dāng) x→ ∞ 時 ， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞ 時 ， f（ x）的極限也存在，但 這 兩個極限不相同，我 們 只能 說 ，當(dāng) x→∞ 時 ， y=arctanx 的極限不存在。 定理 （兩面 夾 定理） 設(shè) 擊數(shù) 在點(diǎn) 的某個 鄰 域內(nèi)（ 可除外） 滿 足條件： （ 1） ，（ 2） 則 有 。 下面我 們給 出擊數(shù)極限的四 則 運(yùn)算定理 定理 則 （ 1） （ 2） （ 3）當(dāng) 時 ， 時 ， 上述運(yùn)算法 則 可推廣到有限多個擊數(shù)的代數(shù)和及乘 積 的情形，有以下推 論 ： （ 1） （ 2） （ 3） 用極限的運(yùn)算法 則 求極限 時 ，必 須 注意： 這 些法 則 要求每個參與運(yùn)算的擊數(shù)的極限存在，且求商的極限 時 ， 還 要求分母的極限不能 為 零。 （五）無 窮 小量和無 窮 大量 窮 小量（ 簡 稱無 窮 ?。? 定 義對 于擊數(shù) ，如果自 變 量 x 在某個 變 化 過 程中，擊數(shù) 的極限 為 零， 則 稱在 該變 化 過 程中，為 無 窮 小量，一般 記 作 常用希臘字母 ，…來表示無 窮 小量。 注意：（ 1）無 窮 小量是 變 量，它不是表示量的大小，而是表示 變 量的 變 化 趨勢 無限 趨 于 為 零。 （ 3）一個 變 量是否 為 無 窮 小量是與自 變 量的 變 化 趨勢緊 密相關(guān)的。 例如： 振 蕩 型 發(fā) 散 （ 4）越 變 越小的 變 量也不一定是無 窮 小量，例如當(dāng) x越 變 越大 時 ， 就越 變 越小，但它不是無 窮 小量。 窮 大量（ 簡 稱無 窮 大） 定 義 ；如果當(dāng)自 變 量 （或∞） 時 ， 的 絕對值 可以 變 得充分大（也即無限地增大）， 則 稱在 該變化 過 程中， 為 無 窮 大量。 注意：無 窮 大（∞）不是一個數(shù) 值 ，“∞”是一個 記 號， 絕 不能寫成 或 。 定理 在同一 變 化 過 程中，如果 為 無 窮 大量， 則 為 無 窮 小量；反之，如果 為 無 窮 小量，且， 則 為 無 窮 大量。 性 質(zhì) 3有限個無 窮 小量的乘 積 是無 窮 小量。 窮 小量的比 較 定 義設(shè) 是同一 變 化 過 程中的無 窮 小量，即 。當(dāng) 等價無 窮 小量代 換 定理： 如果當(dāng) 時 ， 均 為 無 窮 小量，又有 且 存在， 則 。但是必 須 注意：等價無 窮 小量代 換 可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。tan～ x。arcsinx～ x。 其 結(jié) 構(gòu)式 為 ： Ⅱ 重要極限Ⅱ是指下面的公式： 其中 e是個常數(shù)（ 銀 行家常數(shù)），叫自然 對 數(shù)的底，它的 值為 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 e=…… 其 結(jié) 構(gòu)式 為 ： 重要極限Ⅰ是屬于 型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“ ”型的未定式 時 ， 這 兩個重要極限在極限計(jì) 算中起很重要的作用，熟 練 掌握它 們 是非常必要的。 基本極限公式 （ 2） （ 3） （ 4） 例 窮 小量 的有關(guān)概念 （ 1） [9601]下列 變 量在 給 定 變 化 過 程中 為 無 窮 小量的是 A. B. C. D. [答 ]C A. 發(fā) 散 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 D. （ 2） [0202]當(dāng) 時 ， 與 x 比 較 是 階 的無 窮 小量 窮 小量 階 無 窮 小量 階 的無 窮 小量 [答 ]B 解 :當(dāng) , 與 x是 極限的運(yùn)算： [0611] 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 解： [答案 ]1 例 2. 型因式分解 約 分求極限 （ 1） [0208] [答 ] 解 : （ 2） [0621]計(jì) 算 [答 ] 解 : 例 3. 型有理化 約 分求極限 （ 1） [0316]計(jì) 算 [答 ] 解 : （ 2） [9516] [答 ] 解 : 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 例 時 求 型的極限 [答 ] （ 1） [0308] 一般地，有 例 Ⅰ求極限 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 （ 1） [9603]下列極限中，成立的是 A. B. C. D. [答 ]B （ 2） [0006] [答 ] 解 : 例 Ⅱ求極限 （ 1） [0416]計(jì) 算 [答 ] [解析 ]解一：令 解二： [0306] [0601] （ 2） [0118]計(jì) 算 [答 ] 解 : 例 連續(xù) 性求極限 [0407] [答 ]0 解 : ， 例 窮 小代 換 定理求極限 [0317] [答 ]0 解 :當(dāng) 例 處 的極限 （ 1） [0307]設(shè) 則 在 的左極限 [答 ]1 [解析 ] （ 2） [0406]設(shè) ,則 [答 ]1 [解析 ] 例 問題 （ 1）已知 則 常數(shù) [解析 ]解法一： ，即 ，得 . 解法二：令 ， 得 ，解得 . 解法三：（洛必達(dá)法 則 ） 即 ，得 . （ 2）若 求 a,b 的 值 . [解析 ] 型未定式 . 當(dāng) 時 ， . 令 于是 ，得 . 即 ， 所以 . [0402] [0017] ， 則 k=_____.（答 :ln2） [解析 ] 前面我 們講 的內(nèi)容： 極限的概念；極限的性 質(zhì) ；極限的運(yùn)算法 則 ；兩個重要極限；無 窮 小量、無 窮 大量的概念；無 窮 小量的性 質(zhì) 以及無 窮 小量 階 的比 較 。 間 斷點(diǎn)。 義 區(qū) 間
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