【正文】 y=arctαnx x∈ （ ∞ ， +∞ ） 要求：明白反三角函數(shù)的三個(gè)含義及定義域。其中底數(shù) α ＞ 0， α≠1 性質(zhì)： ① 當(dāng) α ＞ 1時(shí)，函數(shù) y=ax單調(diào)增加； ② 當(dāng) 0＜ α ＜ 1 時(shí)，函數(shù) y=ax單調(diào)減少； ③ 指數(shù)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），指數(shù)函數(shù)值大于 0； ④ 對(duì)于 a＞ 0,x,y 為實(shí)數(shù)， 我們規(guī)定： 運(yùn)算法則： 要求：指數(shù)函數(shù)通過(guò)掌握 的圖形，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 例 1判斷下列函數(shù)是否有界 （ 1） （ 2） y＝ cosx 例 1判斷下面函數(shù)的奇偶性 （ 1） （ 2） 例 1判斷函數(shù) 是否是周期函數(shù)，如果是，則求出最小正 周期。 ：定義域與對(duì)應(yīng)法則。 值不等式： k0 時(shí)，則有 k0 時(shí)，則有 例 8 ，求 x的值。 第一章 函數(shù)及其圖形 預(yù)備知識(shí) 一、基本概念 具有某種特定性質(zhì)的事物的 總體。 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 第一章 函數(shù)及其圖形 第二章 極限和連續(xù) 第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第五章 一元函數(shù)積分學(xué) 第六章 多元函數(shù)微積分 前 言 《高等數(shù)學(xué)一》共 6 章。 （ 2） 存在。 定理 初等擊數(shù)在其定 義 的區(qū) 間 內(nèi) 連續(xù) 。 定理 （復(fù)合擊數(shù)的 連續(xù) 性） 設(shè) 擊數(shù) u=g（ x）在 x=x0處連 續(xù) ， y=f（ u）在 u0=g（ x0） 處連續(xù) ， 則復(fù)合擊數(shù) y=f[g（ x） ]在 x=x0處連續(xù) 。 這 里， f（ x）在左端點(diǎn) a 連續(xù) ，是指 滿(mǎn) 足關(guān)系： ，在右端點(diǎn) b連續(xù) ，是指 滿(mǎn) 足關(guān)系： ，即 f（ x）在左端點(diǎn) a處 是右 連續(xù) ，在右端點(diǎn) b處 是左 連續(xù) 。 第二 節(jié) 擊數(shù)的 連續(xù) 性 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] 處連續(xù) 與 間 斷的概念，理解擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 與極限存在之 間 的關(guān)系，掌握判斷擊數(shù)（含分段擊數(shù)）在一點(diǎn) 處連續(xù) 性的方法。 常用的等價(jià)無(wú) 窮 小量代 換 有： 當(dāng) 時(shí) ， sinx～ x。 當(dāng) 無(wú) 窮 大 無(wú) 窮 小 當(dāng) 為 無(wú) 窮 小 無(wú) 窮 大 窮 小量的基本性 質(zhì) 性 質(zhì) 1有限個(gè)無(wú) 窮 小量的代數(shù)和仍是無(wú) 窮 小量； 性 質(zhì) 2有界擊數(shù)（ 變 量）與無(wú) 窮 小量的乘 積 是無(wú) 窮 小量；特 別 地，常量與無(wú) 窮 小量的乘 積 是無(wú) 窮 小量。在不同的 變 化 過(guò) 程中，同一個(gè) 變量可以有不同的 變 化 趨勢(shì) ，因此 結(jié)論 也不盡相同。 注意：上述定理 及定理 對(duì) 也成立。 y=f(x)x→ +∞ f(x)x→？ x→ +∞， f(x)=2+ → 2 例：擊數(shù) f（ x） =2+ex，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）→？ 解： f（ x） =2+ex=2+ ， x→ +∞， f（ x） =2+ → 2 所以 （ 3）當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如 果當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A， 則 稱(chēng)當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）的極限是 A， 記 作 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 x→ ∞ f(x)→？ 則 f(x)=2+ (x＜ 0) x→ ∞ ,x→ +∞ f(x)=2+ → 2 例：擊數(shù) ，當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）→？ 解：當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， x→ +∞ → 2，即有 由上述 x→∞， x→ +∞， x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）極限的定 義 ，不 難 看出： x→∞ 時(shí) f（ x）的極限是 A充分必要條件是當(dāng) x→ +∞以及 x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）有相同的極限 A。 注意： 這 個(gè)定理反 過(guò) 來(lái)不成立，也就是 說(shuō) ，有界數(shù)列不一定收 斂 。 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 [主 要知 識(shí) 內(nèi)容 ] （一）數(shù)列的極限 定 義 按一定 順 序排列的無(wú) 窮 多個(gè)數(shù) 稱(chēng) 為 無(wú) 窮 數(shù)列， 簡(jiǎn) 稱(chēng)數(shù)列， 記 作 {xn}，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱(chēng) 為 數(shù)列的 項(xiàng) ，第 n項(xiàng) xn為 數(shù)列的一般 項(xiàng) 或通項(xiàng) ，例如 （ 1） 1， 3， 5，…，（ 2n1），…（等差數(shù)列） （ 2） （等比數(shù)列） （ 3） （ 遞 增數(shù)列） （ 4） 1， 0， 1， 0，… ，…（震 蕩 數(shù)列） 都是數(shù)列。 變 量的數(shù)學(xué)期望、方差和 標(biāo) 準(zhǔn)差。 值 及條件極 值 解 簡(jiǎn)單 的 實(shí)際問(wèn)題 。 標(biāo) 系下用定 積 分 計(jì) 算平面 圖 形的面 積 以及平面 圖 形 繞 坐 標(biāo)軸 旋 轉(zhuǎn) 所生成的旋 轉(zhuǎn) 體的體積 。 練 掌握不定 積 分的基本公式。 ，掌握微分法 則 ，了解可微和可 導(dǎo) 的關(guān)系，會(huì)求擊數(shù)的一 階 微分。 義 區(qū) 間 上的 連續(xù) 性，會(huì)利用擊數(shù) 連續(xù) 性求極限。 質(zhì) ，掌握極限的四 則 運(yùn)算法 則 。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú) 窮 小量代 換 求極限。 練 掌握 導(dǎo) 數(shù)的基本公式、四 則 運(yùn)算法 則 以及復(fù)合擊數(shù)的求 導(dǎo) 方法。 導(dǎo) 數(shù)判定擊數(shù)的 單調(diào) 性及求擊數(shù)的 單調(diào) 增、減區(qū) 間 的方法。 簡(jiǎn)單 有理?yè)魯?shù)不定 積 分的 計(jì) 算。 連續(xù) 的概念。 間 并（和）、交（ 積 ）、差運(yùn)算的意 義 ，掌握其運(yùn)算 規(guī) 律。 質(zhì) ，掌握極限的四 則 運(yùn)算法 則 。 在幾何上，數(shù)列 {xn}可看作數(shù) 軸 上的一個(gè) 動(dòng) 點(diǎn)，它依次取數(shù) 軸 上的點(diǎn) x1,x2,x3,...xn,… 。 定理 （ 1） （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí) ， （三）擊數(shù)極限的概念 x→ x0時(shí) 擊數(shù) f（ x）的極限 （ 1）當(dāng) x→ x0時(shí) f（ x）的極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 無(wú)限地 趨 于 x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A， 則 稱(chēng)當(dāng) x→x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限是 A， 記 作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→ x0時(shí) ） 例 y=f（ x） =2x+1 x→ 1,f（ x）→ ? x1x→ 1 x1x→ 1 （ 2）左極限 當(dāng) x→ x0時(shí) f（ x）的左極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 從 x0的左 邊 無(wú)限地 趨 于 x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A，則 稱(chēng)當(dāng) x→ x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的左極限是 A， 記 作 或 f（ x00） =A （ 3）右極限 當(dāng) x→ x0時(shí) ， f（ x）的右極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 從 x0的右 邊 無(wú)限地 趨 于 x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A，則 稱(chēng)當(dāng) x→ x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的右極限是 A， 記 作 或 f（ x0+0） =A 例子：分段擊數(shù) ，求 ， 解：當(dāng) x從 0的左 邊 無(wú)限地 趨 于 0 時(shí) f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) 1。 但是 對(duì) 擊數(shù) y=arctanx 來(lái) 講 ，因 為 有 即 雖 然當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）的極限也存在，但 這 兩個(gè)極限不相同，我 們 只能 說(shuō) ，當(dāng) x→∞ 時(shí) ， y=arctanx 的極限不存在。 （五）無(wú) 窮 小量和無(wú) 窮 大量 窮 小量（ 簡(jiǎn) 稱(chēng)無(wú) 窮 ?。? 定 義對(duì) 于擊數(shù) ，如果自 變 量 x 在某個(gè) 變 化 過(guò) 程中，擊數(shù) 的極限 為 零， 則 稱(chēng)在 該變 化 過(guò) 程中，為 無(wú) 窮 小量，一般 記 作 常用希臘字母 ，…來(lái)表示無(wú) 窮 小量。 窮 大量（ 簡(jiǎn) 稱(chēng)無(wú) 窮 大） 定 義 ；如果當(dāng)自 變 量 （或∞） 時(shí) ， 的 絕對(duì)值 可以 變 得充分大（也即無(wú)限地增大）， 則 稱(chēng)在 該變化 過(guò) 程中， 為 無(wú) 窮 大量。 窮 小量的比 較 定 義設(shè) 是同一 變 化 過(guò) 程中