【正文】 數(shù) f（ x）的極限是 A， 記 作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→ x0時(shí) ） 例 y=f（ x） =2x+1 x→ 1,f（ x）→ ? x1x→ 1 x1x→ 1 （ 2）左極限 當(dāng) x→ x0時(shí) f（ x）的左極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 從 x0的左 邊 無限地 趨 于 x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A，則 稱當(dāng) x→ x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的左極限是 A， 記 作 或 f（ x00） =A （ 3）右極限 當(dāng) x→ x0時(shí) ， f（ x）的右極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 從 x0的右 邊 無限地 趨 于 x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A，則 稱當(dāng) x→ x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的右極限是 A， 記 作 或 f（ x0+0） =A 例子：分段擊數(shù) ，求 ， 解：當(dāng) x從 0的左 邊 無限地 趨 于 0 時(shí) f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) 1。我 們 稱當(dāng) x→ 0時(shí) ， f（ x）的左極限是 1，即有 當(dāng) x從 0的右 邊 無限地 趨 于 0 時(shí) ， f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) 1。我 們 稱當(dāng) x→ 0 時(shí) ， f（ x）的右極限是 1，即有 顯 然，擊數(shù)的左極限 右極限 與擊數(shù)的極限 之 間 有以下關(guān)系： 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 定理 x→ x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限等于 A 的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A， 則 必有 。 x→ 1 時(shí) f(x)→ ? x≠ 1 x→ 1f(x)→ 2 對(duì) 于擊數(shù) ，當(dāng) x→ 1時(shí) ， f（ x）的左極限是 2，右極限也是 2。 x→∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限 （ 1）當(dāng) x→∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限 y=f(x)x→∞ f(x)→ ? y=f(x)=1+ x→∞ f(x)=1+ → 1 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→∞ 時(shí) ， f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A， 則 稱當(dāng) x→∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限是 A， 記 作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→∞ 時(shí) ） （ 2）當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A， 則 稱當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限是 A， 記 作 這 個(gè)定 義 與數(shù)列極限的定 義 基本上一 樣 ，數(shù)列極限的定 義 中 n→ +∞的 n 是正整數(shù)；而在 這 個(gè)定 義 中，則 要明確寫出 x→ +∞，且其中的 x不一定是正整數(shù)，而 為 仸意 實(shí) 數(shù)。 y=f(x)x→ +∞ f(x)x→？ x→ +∞， f(x)=2+ → 2 例：擊數(shù) f（ x） =2+ex，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）→？ 解： f（ x） =2+ex=2+ ， x→ +∞， f（ x） =2+ → 2 所以 （ 3）當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如 果當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A， 則 稱當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）的極限是 A， 記 作 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 x→ ∞ f(x)→？ 則 f(x)=2+ (x＜ 0) x→ ∞ ,x→ +∞ f(x)=2+ → 2 例：擊數(shù) ，當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）→？ 解：當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， x→ +∞ → 2，即有 由上述 x→∞， x→ +∞， x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）極限的定 義 ，不 難 看出： x→∞ 時(shí) f（ x）的極限是 A充分必要條件是當(dāng) x→ +∞以及 x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）有相同的極限 A。 例如擊數(shù) ，當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x） 無限地 趨 于常數(shù) 1，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）也無限地 趨 于同一個(gè)常數(shù) 1，因此稱當(dāng) x→∞ 時(shí) 的極限是 1， 記 作 其幾何意 義 如 圖 3 所示。 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 f(x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是 對(duì) 擊數(shù) y=arctanx 來 講 ，因 為 有 即 雖 然當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）的極限也存在，但 這 兩個(gè)極限不相同，我 們 只能 說 ，當(dāng) x→∞ 時(shí) ， y=arctanx 的極限不存在。 x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是 對(duì) 擊數(shù) y=arctanx 來 講 ，因 為 有 即 雖 然當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）的極限也存在，但 這 兩個(gè)極限不相同，我 們 只能 說 ，當(dāng) x→∞ 時(shí) ， y=arctanx 的極限不存在。 （四）擊數(shù)極限的定理 定理 （惟一性定理）如果 存 在， 則 極限 值 必定惟一。 定理 （兩面 夾 定理） 設(shè) 擊數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè) 鄰 域內(nèi)（ 可除外） 滿 足條件： （ 1） ，（ 2） 則 有 。 注意：上述定理 及定理 對(duì) 也成立。 下面我 們給 出擊數(shù)極限的四 則 運(yùn)算定理 定理 則 （ 1） （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí) ， 時(shí) ， 上述運(yùn)算法 則 可推廣到有限多個(gè)擊數(shù)的代數(shù)和及乘 積 的情形，有以下推 論 ： （ 1） （ 2） （ 3） 用極限的運(yùn)算法 則 求極限 時(shí) ，必 須 注意： 這 些法 則 要求每個(gè)參與運(yùn)算的擊數(shù)的極限存在，且求商的極限 時(shí) ， 還 要求分母的極限不能 為 零。 另外，上述極限的運(yùn)算法 則對(duì) 于 的情形也都成立。 （五）無 窮 小量和無 窮 大量 窮 小量（ 簡(jiǎn) 稱無 窮 ?。? 定 義對(duì) 于擊數(shù) ，如果自 變 量 x 在某個(gè) 變 化 過 程中，擊數(shù) 的極限 為 零， 則 稱在 該變 化 過 程中，為 無 窮 小量，一般 記 作 常用希臘字母 ，…來表示無 窮 小量。 定理 擊數(shù) 以 A為 極限的必要充分條件是： 可表示 為 A與一個(gè)無 窮 小量之和。 注意：（ 1）無 窮 小量是 變 量，它不是表示量的大小，而是表示 變 量的 變 化 趨勢(shì) 無限 趨 于 為 零。 （ 2）要把無 窮 小量與很小的數(shù) 嚴(yán) 格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無 論 它多么小也不是無 窮 小量。 （ 3）一個(gè) 變 量是否 為 無 窮 小量是與自 變 量的 變 化 趨勢(shì)緊 密相關(guān)的。在不同的 變 化 過 程中，同一個(gè) 變量可以有不同的 變 化 趨勢(shì) ，因此 結(jié)論 也不盡相同。 例如： 振 蕩 型 發(fā) 散 （ 4）越 變 越小的 變 量也不一定是無 窮 小量，例如當(dāng) x越 變 越大 時(shí) ， 就越 變 越小，但它不是無 窮 小量。 （ 5）無 窮 小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無 窮 小量中惟一的一個(gè)數(shù)， 這 是因 為 。 窮 大量（ 簡(jiǎn) 稱無 窮 大） 定 義 ；如果當(dāng)自 變 量 （或∞） 時(shí) ， 的 絕對(duì)值 可以 變 得充分大（也即無限地增大）， 則 稱在 該變化 過 程中， 為 無 窮 大量。 記 作 。 注意：無 窮 大（∞）不是一個(gè)數(shù) 值 ，“∞”是一個(gè) 記 號(hào)， 絕 不能寫成 或 。 窮 小量與無 窮 大量的關(guān)系 無 窮 小量與無 窮 大量之 間 有一種 簡(jiǎn)單 的關(guān)系， 見 以下的定理。 定理 在同一 變 化 過 程中，如果 為 無 窮 大量， 則 為 無 窮 小量；反之，如果 為 無 窮 小量，且， 則 為 無 窮 大量。 當(dāng) 無 窮 大 無 窮 小 當(dāng) 為 無 窮 小 無 窮 大 窮 小量的基本性 質(zhì) 性 質(zhì) 1有限個(gè)無 窮 小量的代數(shù)和仍是無 窮 小量； 性 質(zhì) 2有界擊數(shù)（ 變 量）與無 窮 小量的乘 積 是無 窮 小量；特 別 地，常量與無 窮 小量的乘 積 是無 窮 小