【正文】 500 元 我們雜志讀者的平均年齡是 34 歲 這個(gè)居民區(qū)中家庭的年均收入為 2 萬元 但是，“平均數(shù)”有三個(gè)不同的意義：均數(shù)（算術(shù)平均數(shù) mean）、中位數(shù)（ median）和眾數(shù)（ mode）。 一個(gè)擁有 N 個(gè)數(shù)字的集合 的 均數(shù)就是該集合全部數(shù)字的總和除以 N。 平均年齡＝ 11 )223()212()201()194()181( ????????? ≈ 把集合中的數(shù)字由小 到 大排列出來，而位于正中間 的 那個(gè)數(shù)字便是該集合的中位數(shù)。 如果 N 是偶數(shù)的話，中位數(shù)便等于正中間那兩個(gè)數(shù)字 的 平均數(shù)，例如 ｛ 2, 5, 5, 8, 10, 12｝ 的中位數(shù)就是 (5＋ 8)247。一個(gè)中位數(shù)比平均數(shù)優(yōu)勝的地方是前者不會受因某些異常情況而出現(xiàn)的極端數(shù)值 （ 它對于所要研究的對象不具代表性）的不必要影響。 眾數(shù)是以最大頻率出現(xiàn)的那個(gè)值。而在｛ 2, 5, 5, 8, 10, 12｝中，眾數(shù)是 5，因?yàn)樗霈F(xiàn)的頻率最高。但是，當(dāng)在這些不同的平均數(shù)值之間存在重大差距時(shí)，歸納的問題就出現(xiàn)了。 職 位 人 數(shù) 年 薪 (人民幣元 ) 經(jīng)理 1 275000 高級主管 2 150000 主管 2 80000 高級工程師 1 65000 （均數(shù)） 工程師 4 55000 高 級繪圖員 1 45000 （中位數(shù)） 繪圖員 10 30000 （眾數(shù)） 該公司有 21 個(gè)職員，年總薪酬額為 1365000 元，均數(shù)是 1365000/21，即 65000 元；年薪中位數(shù)為 45000 元，因?yàn)橛?10 個(gè)職員的年薪比這多， 10 個(gè)比這少；由于掙 30000 元的人數(shù)最多，所以該數(shù)值是眾數(shù)。平均數(shù)使用的目的不同，不同的數(shù)字可能被引證作為一個(gè)論證的基礎(chǔ)。如果繪圖員提出同樣的要求，經(jīng)理也許回應(yīng)說，他們現(xiàn)在已掙到公司的平均薪水（在眾數(shù)的意義），而對于繪圖員來說，掙到平均薪水就是很不錯(cuò)的了。經(jīng)理的所有回答都是真的，但如果讀者或聽者不能熟練地區(qū)別“平均數(shù)”的各種意義，那么，他或許被經(jīng)理的論證所說服。 當(dāng)然有可能存在三種平均數(shù)是同數(shù)值的情況。例如，成年男女的高度，某個(gè)區(qū)域的風(fēng)速，某種照明燈泡或汽車輪胎的使用壽命，某種牙膏或洗發(fā)精的周銷售量等隨機(jī)樣本的結(jié)果。 統(tǒng)計(jì)推理是一種有力而常用的論證方法。 二、統(tǒng)計(jì)謬誤 數(shù)字和圖表本身不會說謊，但人們有可能利用它們說謊。 （一） 忽略相關(guān)變量 美國與西班牙交戰(zhàn)期間，紐約曾出現(xiàn)這樣的宣傳口號：“離開紐約，去參加軍隊(duì)，因?yàn)樵谲婈?duì)比呆在紐約更安全！”原來，證明這樣的結(jié)論有統(tǒng)計(jì)上的根據(jù)：美國海軍的死亡率是 9?，而紐約市居民的死亡率是 16?。海軍由那些體格健壯的年輕人組成，而 紐約居民中包括了嬰兒、老人和病人。因此，兩個(gè)數(shù)據(jù)根本不能相比，更不用說符合參軍標(biāo)準(zhǔn)的人在海軍會比在其他地方有更高的存活機(jī)會。 本市兇殺案比去年增長了 67％。然而，它們卻遺漏了一件重要的信息即百分比所基于的絕對數(shù)字。也許我們的計(jì)算機(jī)銷售是從原來所占市場份額的 2％提高到了 3％，而對手是 從原來所占的 60％提高到了 75％。所以，在遇到百分比的時(shí)候，應(yīng)該仔細(xì)想一想，該百分比所憑借的數(shù)字是什么？一旦對手拿百分比進(jìn)行比較，你更要對此當(dāng)心。如果想 使數(shù)據(jù)大得駭人，只需把它表現(xiàn)成某個(gè)小數(shù)字的百分?jǐn)?shù)；反之，如果想讓數(shù)據(jù)微不足道， 只需把它變成某個(gè)大數(shù)字的百分?jǐn)?shù)。 今年有 萬多人來買汽車，我們汽車公司最好的年頭到底來了。這是因?yàn)橐豁?xiàng)與體育有關(guān)的死亡統(tǒng)計(jì)顯示，該市棒球的死亡人數(shù)為 43 人，在死亡率方面領(lǐng)先于足球（ 22 人）和拳擊（ 21 人）。但是實(shí)際上，我們可以發(fā)現(xiàn)許多疑點(diǎn)。不了解參加這些體育項(xiàng)目的運(yùn)動員人數(shù)便去計(jì)算百分?jǐn)?shù)，誰知道拳擊手的總數(shù)是否比棒球手的總 138 數(shù)低出許多？ （三） 樣本偏頗 在統(tǒng)計(jì)推理中，違反抽取隨機(jī)性標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)具有代表性要求的樣本是偏頗的。該刊 成功地預(yù)測了 1924 年、 1928 年和 1932 年美國總統(tǒng)的選舉結(jié)果，使其名聲大振。其抽樣調(diào)查的樣本框來源于電話號碼簿和汽車登記記錄 。這次預(yù)測的失敗使《文學(xué)文摘》的信譽(yù)一落千丈， 并因耗費(fèi)當(dāng)時(shí)來說數(shù)目不小的近百萬美元而最終關(guān)門大吉 。后來還證實(shí)，他們中的許多人是共和黨的選民。我們由此得到的教益是，依據(jù)通過雜志甚至互聯(lián)網(wǎng)得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行推理時(shí)，一定要反復(fù)思考樣本的代表性，以得到一個(gè)與樣本代表的范圍相稱的結(jié)論。 記者昨日從天津市心理衛(wèi)生協(xié)會獲悉，本市對高中學(xué)生性心理 進(jìn)行的最新調(diào)查顯示， %以上的“學(xué)生情侶”存在擁抱、接吻現(xiàn)象， %以上存在同居現(xiàn)象 !負(fù)責(zé)此次調(diào)查的天津市心理咨詢職業(yè)技能培訓(xùn)中心教務(wù)主任李軍表示，學(xué)校性教育存在的不足是引發(fā)青少年出現(xiàn)性心理、性生理問題的主要原因，而家長和學(xué)校聯(lián)手就能取得事半功倍的效果。 評論者指出，不過一所學(xué)校的調(diào)查，不過 89 個(gè)樣本，竟然也敢拿來說事，別的不說，不同學(xué)校的情況千差萬別，光是那些好的學(xué)校和差的學(xué)校就有明顯的差別， 這個(gè)調(diào)查抽取的高中是什么性質(zhì)的，辦學(xué)質(zhì)量如何，校風(fēng)如何，這些都會直接影響調(diào)查的結(jié)果，而且調(diào)查的結(jié)果根本就不能用來推論總體，說天津高中生如何如何的。 （五） 賭徒謬誤 139 根據(jù)一個(gè)事件在最近的過去不如期望的那樣經(jīng)常出現(xiàn)，推斷最近的將來它出現(xiàn)的概率將會增加。然而，賭徒可能輸?shù)酶鼞K。前述關(guān)于概率的頻率解釋告訴我們，隨機(jī)事件的發(fā)生頻率具有穩(wěn)定性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與它們的概率將無限接近。賭徒?jīng)]有理解，比如，拋擲硬幣出現(xiàn)正面是一個(gè)獨(dú)立事件，即上一次發(fā)生的事件對下一次事件毫無影響。當(dāng)一個(gè)醫(yī)生接待一個(gè)病人時(shí)，經(jīng)過檢查程序之后，醫(yī)生對其家屬說，病人的病很嚴(yán)重， 10 有 9 死。但是，病人的家屬有理由得到寬慰嗎？ （六） 令人誤解的平均數(shù) 使用平均數(shù)有很大的玄機(jī)。而不希望這樣時(shí)，可能使用中位數(shù)或眾數(shù)。之前對舊《時(shí)代》讀者的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，“平均年齡（中位數(shù)）為 41歲??平均收入為 9535美元??”。也許這里使用的是均值，以便利用高收入讀者群來達(dá)到吸引廣告商的目的。如果這個(gè)數(shù)是中位數(shù)，你可以獲得有用的信息：一半員工賺得比它多，一半比它少。它可能既掩蓋了多數(shù)員工的低收入，又隱瞞了所有者以巨額薪金形式抽取的利潤。如果你發(fā)現(xiàn)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推論所得出的結(jié)論是一個(gè)孤立的百分 數(shù)，而非以兩個(gè)數(shù)為邊際數(shù)的區(qū)間估計(jì)，那么，你完全有理由對其保持審慎態(tài)度?！?紐約時(shí)報(bào) 》 民意測驗(yàn)的 數(shù)據(jù)中 ， 有 一項(xiàng)顯示出 54％的黑人應(yīng)答者說希望環(huán)境保護(hù)繼續(xù)改進(jìn)，不管經(jīng)濟(jì)上有多大損失。要是容許 3％的誤差，這個(gè)結(jié)論便 得到 支持，但事實(shí)上誤差不只 3％。我們可以設(shè)想：樣本中黑人所占的百分比，同全美國 人 中黑人所占的百分比是相當(dāng)?shù)?。這就等于說 ，1479 人的樣本中有 222 人是黑人 ， 姑且算作 250 人 。 6％。 而 且，黑人數(shù) 還 不是 250，這就決定了區(qū)間的下邊際不是 48％，而是 48％以下，因此 ， 就更無理由說 “ 過半數(shù)黑人支持這一立場 ”，只能說“ 48％ － 60％的 黑人支持這一立場 ” 。這種手段將會使資料分布的特征更加明顯，使人們直觀地理解統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 而 差的圖表 也 能令人很快得出 “ 表 ” 里不一的錯(cuò)誤結(jié)論 。由于數(shù)字上（ 1994 年的 “ 71”到 1998 年的 “ 420” ）是增加了 6 倍，所以右圖的高度為左圖的 6 倍是正確的繪 圖 方式 ， 但同時(shí)右圖的 寬 度為左圖的 6 倍 ，這 便 易于產(chǎn)生誤導(dǎo) ，因?yàn)橛覉D的面積最終等于左圖 的 6 6 = 36 倍，導(dǎo)致視覺上會令人誤解為有 36 倍的增長。 （九） 片面理解 對一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)予以片面理解而得出一個(gè)具有片面性的結(jié)論。如果我們只是從縱向來理解，對這“令人鼓舞”的結(jié)論沾沾自喜，那么，從橫向比較，這樣的進(jìn)步 仍令我們汗顏。但是，美國 50 年代是 人，現(xiàn)在為 人。 第四節(jié) 歸納決策 決策就是選擇能最有效地實(shí)現(xiàn)決策者意圖或目的行動方案。早上 跑步鍛煉還是睡懶覺 ？該與 A 君還是與 B 君 交朋友 ？ 就業(yè)還是呆在家里復(fù)習(xí)考研？ 這 些 都是我們要面對的決策問題。比方說，你選了部爛片觀看而白白浪費(fèi)了整個(gè)下午 ，這 也許會令你很氣 憤，但卻不會對你的人生 有 多大損失。譬如說， 沒有好好學(xué)習(xí)邏輯課，又在考前未認(rèn)真復(fù)習(xí)，于是決定帶些小抄想僥幸過關(guān)，結(jié)果被逮個(gè)正著，按作弊論處，受了處分，丟了學(xué)位，就業(yè)市場上已失去很多競爭力?? 。 如何 做 作理性的決策構(gòu)成決策論的中心課題。決策論 討論的決策問題主要有兩大類型。歸納決策中只有一個(gè)決策者（一個(gè)人或一個(gè)團(tuán)體）。例如，“田忌賽馬”。但 決策論只能告訴你怎樣做決策最理性，并不能擔(dān)保你每次也能獲得 滿意 結(jié)果。最好的結(jié)果也不一定來自最理性的決策。畢竟，結(jié)果的好壞 往往還得憑些運(yùn)氣。效用可以用金錢來衡量，但并不盡然。因?yàn)槲覀兊娜蝿?wù)就是通過計(jì) 142 算某種結(jié)果的期望值來判斷對應(yīng)方案的價(jià)值。 按 決策情境 劃 分 ，決策有 三類：風(fēng)險(xiǎn)情境下的決策 ； 確定 情境下的決策 和 不確定情境下的決策 。此時(shí)，我們的知識被說成是局部的或不完全的。假設(shè)一次抽彩給獎活動中，每張彩票為 1 元，每 100000 張為一組，每組設(shè)一等獎 1個(gè)，獎 10000 元；二等獎兩個(gè)，各獎 1000 元，三等獎 10 個(gè)，各獎 200 元，末等獎 3000個(gè)，各獎 2 元。如果選擇不買，你在金錢上無所得也無所失，金錢效用（報(bào)酬）或期 望效用值為 0。因此，買彩票有 5種可能結(jié)果： O1：得獎金 10000 元； O2：得獎金 1000 元； O3：得獎金 200 元； O4：得獎金 2元；O5：得獎金 0 元。以上結(jié)果是互斥且窮舉事件，令概率分配為 X1，?， Xn，按照概率推理，買一張彩票的期望值（金錢）就是： E＝ X1O1＋ X2O2＋?＋ XnOn 然后再減去買彩票花去的 1 元，因此為 （ A）＝（ 1/100000 10000＋ 2/100000 1000＋ 10/100000 200 ＋ 3000/100000 2＋ 96987/100000 0）－ 1＝－ 對這個(gè)結(jié)果的另一個(gè)解釋是，如果你花 100000 元把一組彩票全部買下來，那么你就囊括了全部獎金，即 20200 元，但你損失了 80000 元，平均每 1 元損失 元。這時(shí)，我們可以指派“效用單位”。如果他決定做這個(gè)手術(shù)，那么三個(gè)不同的世界狀態(tài)或情形是相關(guān)的，它們每一個(gè)有某個(gè)概率。顯然，第一種結(jié)果有最大的效用，并且有高概率；第二種結(jié)果有低效用（聽力問題未改善，而且病人要忍受疼痛和手術(shù)費(fèi)用）；第三個(gè)結(jié)果有最低的效用。這個(gè)結(jié)果的效用等級高于不成功的手術(shù)（無改善和變得更糟），但低于導(dǎo)致聽力改善的手術(shù)的結(jié)果的效用等級。不過，我們可以根據(jù)主觀的感受用“效用單位”給每一種可能結(jié)果指派一個(gè)相對值。盡管該單位不必，也許不可能換算為金錢數(shù)。所以，病人應(yīng)選擇手術(shù)。 假設(shè)決策者面前有 N 個(gè)行動選擇 ， 根據(jù)此原則，決策者應(yīng)計(jì)算每個(gè)行動分別對應(yīng)的期望值，然后選擇期望值最高的行動 加以實(shí)施 。這種情況稱作確定性下的決策情境。通常，僅有一個(gè)狀態(tài)與確定性下的一個(gè)決策相關(guān)聯(lián)。在你 做出決策 那刻 起 到 實(shí)施 行動之間，世事已可能以你難以預(yù)料的方式改變了 。然而，到達(dá)圖書館之時(shí)卻發(fā)現(xiàn)因停電而閉館。 確定性下的 決策并不需 要任何概率計(jì)算。進(jìn)行這種決策適用的規(guī)則是簡單的： 選擇有最高效用的行動 你正考慮該購買 A 區(qū) 還是 B 區(qū) 的 樓房 。然而，除此之外，你 也許需考慮其他與金錢無關(guān)之事。 在許多情況下，附加因素的考慮可能使得一個(gè)確定性下的決策變成一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)下的決策。但在風(fēng)險(xiǎn)下決策中，我們至少能對世界的不同狀態(tài)的概率做出判斷。我們甚至都不能說，是否一個(gè)相關(guān)的狀態(tài)更可能，更不可能或 與另一狀態(tài)同等可能發(fā)生。如果我們能夠形成哪怕是粗糙的概率判斷，我們也將遵循風(fēng)險(xiǎn)下決策的規(guī)則，即選擇最大化期望效用的行動。正如在確定性下決策那樣，在不確定性下決策的大多數(shù)情況下，效用的等級順序是足夠的。在大多數(shù)情況下，我們也能粗略評估不同可能后果發(fā)生的機(jī)率。我們不妨以此投資對 不確定性 情境 加以 說明。他正盤算著四種投資策略： (1)投資 8000， (2)投資 4000， (3)投資 2020， (4)投資 1000。下面回報(bào)表表示他的決策情境： 行動（投資） 行動的可能后果（回報(bào)） 牛市 普通市 熊市 1. 8000 800 200 ﹣ 400 2. 4000 400 100 ﹣ 200 3. 2020 200 50 ﹣ 100 4. 1000 100 25 ﹣ 50 王 先生應(yīng)選擇何種投資策略？既然 王 先生對可能結(jié)果發(fā)生的 概 率完全無知，最大化期望值原則顯然派不上用場。在此情況下有至少兩條原則可助 王 先生作理性決策， 而 選取 哪一個(gè) 則視 其 個(gè)性 而定 。 145 在上表中，我們看到行動 1－ 4 的最壞后果分別為 ﹣ 400，﹣ 200，﹣ 100，和﹣ 50。 假若 王 先生富 有 冒險(xiǎn)精神，那 么， 以下 “ 最大最大化原則 ” 較適合他： 決策者應(yīng)先比較可供選擇的每個(gè)行動的最佳可能后果，然后選擇引起最佳后果之中的最佳后果之行動。 可 看出，行動 1 為引起最佳之中的最佳的行動