【正文】 分層抽樣作為純隨機(jī)抽樣的替代品。這是按照事先知道的優(yōu)勢(shì)比例將總體劃分為不同的組，再在每一層內(nèi)部進(jìn)行隨機(jī)抽樣。例如，按經(jīng)濟(jì)收入的多少，將全國(guó)或某一 區(qū)域的居民家庭分為四層：月收入在 5000 元以上的；在 3000 元到 4999元的； 1000 元到 2999 元的以及 1000 元以下的。然后在于每一層中進(jìn)行隨機(jī)抽樣。但分層抽樣可能遇到分組比例的信息的正確性問題。例如，在收入分組時(shí)就可能遇到麻煩。 即便這樣，這種方法在實(shí)際運(yùn)用中仍然留給調(diào)查人員隨意性。例如，如果采用這種方法進(jìn)行市民安全感調(diào)查，訪問員往往不去骯臟的老城區(qū)，往往也只愿意在白天進(jìn)行訪問，這樣一來，他們就可能系統(tǒng)地排除了經(jīng)濟(jì)地位低下的居民、上夜班的居民等。因此，調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性就可能因忽略了這部分群體的意見而受到 影響。 樣本的大小在決定樣本是否有代表性上也是一個(gè)重要因素。在樣本隨機(jī)選出的情況下，越是大的樣本，越接近于復(fù)制總體。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這種接近性的程度用“抽樣誤差”來表示。抽樣誤差是樣本中某性質(zhì)出現(xiàn)的頻率與總體中該性質(zhì)出現(xiàn)頻率之間的差距。樣本越大，抽樣誤差越小。 人們根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出了在 95％的置信水平上樣本 大小 和誤差范圍及置信區(qū)間的關(guān)系 ，即在有代表性的樣本的大小確定的情況下，考慮到抽樣誤差所得到的關(guān)于總體的結(jié)論可以有 95％ 的概率為真 。 樣本大小和抽樣誤差 考察數(shù)量 誤差范圍（ 百分點(diǎn)） 4000 177。 2 1500 177。 3 1000 177。 4 750 177。 4 600 177。 5 134 400 177。 6 200 177。 8 100 177。 11 當(dāng)樣本是由人所構(gòu)成的時(shí)，隨機(jī)性要件可能更多地出現(xiàn)問題。一 個(gè)較少偏頗的樣本似乎可能通過從電話簿隨機(jī)選擇電話號(hào)碼而獲得。但該程序也不會(huì)產(chǎn)生完全隨機(jī)的樣本。打電話的時(shí)間影響所獲得的回答的種類。那些上全班的大多數(shù)人在白天無法接聽電話；即使電話在晚上打，未列入的號(hào)碼也大約占總體的 30％。調(diào)查表隨雜志的某一期 發(fā)出，回收后得到的樣本也有局限性，得出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)很難推廣到比該雜志讀者更大的群體上。通過互聯(lián)網(wǎng)主頁點(diǎn)擊進(jìn)行的投票也存在類似的問題，需處處小心。 當(dāng)總體是人組成的時(shí)，心理因素可能有重大作用。首先，如果構(gòu)成樣本的人們認(rèn)為由于他們提供的回答而獲得或損失某些東西時(shí)，可以想像， 他們的受牽連的事務(wù)將影響回答結(jié)果。例如，如果一項(xiàng)研究需要調(diào)查居民的收入，以便決定能否承擔(dān)得起提高的所得稅，那么，人們會(huì)低估收入。其次，對(duì)所要回答的問題也可能有心理負(fù)擔(dān)。像“你多長(zhǎng)時(shí)間刷一次牙？”“一年內(nèi)你讀多少書？”可以期望得到高估的回答。而“你被灌醉過多少次？”“你有過多少婚外情？”將可能得到低估的回答。類似的夸大也可能是一個(gè)提問的措詞的后果。比如，“你贊成減少福利作為對(duì)猖狂欺騙的回應(yīng)嗎？”比直接問“你贊成減少福利嗎？”期望得到更為肯定的回答。第三，另一個(gè)產(chǎn)生心理影響的來源是調(diào)查者和回答者之間的個(gè)人互動(dòng)。 顯然，許多人寧愿回答令人喜歡（愉快）的人提出的問題。美國(guó) 1988 年大選，報(bào)紙?jiān)鴮?duì)杰西 杰克遜作過一次民意測(cè)驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，他最 多能獲得黑人中約 50％的選票?？赏镀睍r(shí)發(fā)現(xiàn)，有 90％的黑人支持他。原來，在民意測(cè)驗(yàn)中，黑人不愿意把自己真正的想法告訴那些白人調(diào)查員。 我們?cè)谌粘＝?jīng)驗(yàn)中遇到的大多數(shù)統(tǒng)計(jì)證據(jù)并不提及諸如隨機(jī)性、抽樣誤差以及樣本是在何種條件下獲得的等因素。缺少這樣的信息，面臨評(píng)估這種證據(jù)的人必須使用他的最好判斷。數(shù)字和科學(xué)術(shù)語并不是無偏頗樣本的代用品。 （二） 區(qū)間估計(jì) 抽樣誤差本質(zhì)上并非錯(cuò)誤，因?yàn)橹挥?對(duì)總體的每一個(gè)分子都進(jìn)行調(diào)查（然而這就不是抽樣統(tǒng)計(jì)）才會(huì)得到與總體完全相等的數(shù)據(jù)，所以再完善的抽樣統(tǒng)計(jì)程序和方法都無法避免有抽樣誤差。 一般說來，一個(gè)隨機(jī)樣本中的頻率同總體中的百分比恰恰相當(dāng)?shù)母怕适呛艿偷模珮颖绢l率同總體的百分比靠近的概率卻 可以 是很高的。由上述討論可知，統(tǒng)計(jì)推理得出的結(jié)論不是一個(gè)和樣本頻率相等的數(shù)值，而是一個(gè)和樣本頻率相靠近的區(qū)間。由于這個(gè)緣故，人們常把對(duì)總體百分比的估計(jì)叫 “ 區(qū)間估計(jì) ” 。這個(gè)區(qū)間通常叫置信區(qū)間，其大小與樣本的容量 N的大小有關(guān)。 N 小時(shí)，誤差范圍便大，置信區(qū)間也就大；N 大時(shí)，誤差 范圍便小，置信區(qū)間也就小。 如果 某選舉候選人支持率統(tǒng)計(jì)調(diào)查 有 3%的誤 135 差幅度，如果該調(diào)查的結(jié)果是選民對(duì)候選人甲 的 支持率為 52%，則 具有 95%可靠性 的 置信區(qū)間等于 52 177。 3%，即 49％－ 55％，換句話說，選民中 49％到 55％的人支持甲，這一結(jié)論的概率達(dá)到 95%。 所以，我們可以說，所有統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論，都應(yīng)是以兩個(gè)數(shù)為邊際數(shù)的區(qū)間。假若一個(gè)統(tǒng)計(jì)推理的結(jié)論不是一個(gè)區(qū)間估計(jì)，而是一個(gè)孤零零的數(shù)字，那么，我們得小心思量一番。 （三） 數(shù)據(jù)的意義 統(tǒng)計(jì)推理中 最常提及到的統(tǒng)計(jì)數(shù)字是平均數(shù)。 例如， 本公司職員月平均收入是 2500 元 我們雜志讀者的平均年齡是 34 歲 這個(gè)居民區(qū)中家庭的年均收入為 2 萬元 但是，“平均數(shù)”有三個(gè)不同的意義：均數(shù)（算術(shù)平均數(shù) mean）、中位數(shù)（ median）和眾數(shù)（ mode）。在評(píng)估依賴平均數(shù)的論證時(shí)，知道被使用的“平均數(shù)”一詞的精確意義常常是重要的。 一個(gè)擁有 N 個(gè)數(shù)字的集合 的 均數(shù)就是該集合全部數(shù)字的總和除以 N。例如 ，列出某個(gè)班級(jí)一組學(xué)生的年齡， 人數(shù) 年齡 1 18 4 19 1 20 2 21 3 22 所有人的年齡相加除以人數(shù)就得到該組人的平均年齡（均數(shù)），也即算術(shù)平均數(shù)。 平均年齡＝ 11 )223()212()201()194()181( ????????? ≈ 把集合中的數(shù)字由小 到 大排列出來，而位于正中間 的 那個(gè)數(shù)字便是該集合的中位數(shù)。上列年齡表的數(shù)字集合可寫為｛ 18,19,19,19,19,20,21,21,22,22,22｝，一共有 11 個(gè)數(shù)，第 6個(gè)便是中位數(shù)，即 20。 如果 N 是偶數(shù)的話，中位數(shù)便等于正中間那兩個(gè)數(shù)字 的 平均數(shù)，例如 ｛ 2, 5, 5, 8, 10, 12｝ 的中位數(shù)就是 (5＋ 8)247。 2 = 。一個(gè)中位數(shù)比平均數(shù)優(yōu)勝的地方是前者不會(huì)受因某些異常情況而出現(xiàn)的極端數(shù)值 （ 它對(duì)于所要研究的對(duì)象不具代表性）的不必要影響。譬如，由于一些不尋常的情況，數(shù)據(jù) ｛ 2, 5, 5, 8, 10｝ 改變成 ｛ 2, 5, 5, 8, 100｝ ，這個(gè)數(shù)據(jù) 的 均數(shù)會(huì)由 6增加到 24，但中位數(shù)就不受這個(gè)異常情況所影響而維持在 5 不變。 眾數(shù)是以最大頻率出現(xiàn)的那個(gè)值。例如，上表中出現(xiàn)次數(shù)最多（ 4 次）的年齡是 19 136 歲。而在｛ 2, 5, 5, 8, 10, 12｝中，眾數(shù)是 5，因?yàn)樗霈F(xiàn)的頻率最高。 在年齡例子中，均數(shù)、中位數(shù)和 眾數(shù)相互不同，但很接近。但是，當(dāng)在這些不同的平均數(shù)值之間存在重大差距時(shí)，歸納的問題就出現(xiàn)了。例如，關(guān)于薪水問題的平均數(shù)。 職 位 人 數(shù) 年 薪 (人民幣元 ) 經(jīng)理 1 275000 高級(jí)主管 2 150000 主管 2 80000 高級(jí)工程師 1 65000 （均數(shù)） 工程師 4 55000 高 級(jí)繪圖員 1 45000 （中位數(shù)） 繪圖員 10 30000 （眾數(shù)） 該公司有 21 個(gè)職員，年總薪酬額為 1365000 元，均數(shù)是 1365000/21，即 65000 元；年薪中位數(shù)為 45000 元，因?yàn)橛?10 個(gè)職員的年薪比這多， 10 個(gè)比這少；由于掙 30000 元的人數(shù)最多，所以該數(shù)值是眾數(shù)。這三個(gè)數(shù)值都表示該公司的平均年薪酬，但是在不同的意義上。平均數(shù)使用的目的不同，不同的數(shù)字可能被引證作為一個(gè)論證的基礎(chǔ)。比如，高級(jí)工程師要求提高薪水，經(jīng)理可能回答 說，他的薪水早已超過平均水平（在中位數(shù)和眾數(shù)的意義上），因此不能再高了。如果繪圖員提出同樣的要求，經(jīng)理也許回應(yīng)說，他們現(xiàn)在已掙到公司的平均薪水（在眾數(shù)的意義），而對(duì)于繪圖員來說，掙到平均薪水就是很不錯(cuò)的了。假如公司之外的人認(rèn)為，該公司付的只是維持生活的工資，那么經(jīng)理可以回應(yīng)說，本公司的平均工資是非常高的 65000 元。經(jīng)理的所有回答都是真的，但如果讀者或聽者不能熟練地區(qū)別“平均數(shù)”的各種意義，那么，他或許被經(jīng)理的論證所說服。這就表明，三種平均數(shù)有不同的功用。 當(dāng)然有可能存在三種平均數(shù)是同數(shù)值的情況。這就是對(duì)應(yīng) 于隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)組。例如，成年男女的高度，某個(gè)區(qū)域的風(fēng)速，某種照明燈泡或汽車輪胎的使用壽命，某種牙膏或洗發(fā)精的周銷售量等隨機(jī)樣本的結(jié)果。那些對(duì)應(yīng)于這些現(xiàn)象的數(shù)據(jù)通常接近正態(tài)分布，它在圖表上的曲線呈鐘形。 統(tǒng)計(jì)推理是一種有力而常用的論證方法。但 不談取樣方 法 ，不 言 樣本容量，不考慮誤差范圍， 不澄清數(shù)字含義 ， 都可能使推理變成謬誤或失去意義。 二、統(tǒng)計(jì)謬誤 數(shù)字和圖表本身不會(huì)說謊，但人們有可能利用它們說謊。面對(duì)統(tǒng)計(jì)資料和論證，我們應(yīng)該經(jīng)常提出 5 個(gè)批判性問題： ？ ——驗(yàn)證資料來源的正當(dāng)性和權(quán)威性； 何知道的？ ——檢驗(yàn)樣本； 3. 137 遺漏了什么？ ——揭示相關(guān)因素和比較基礎(chǔ)； ？ ——洞察概念的不同解釋對(duì)得出結(jié)論的關(guān)鍵影響； ？ ——揭露統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)賴以建立的未經(jīng)證實(shí)的假設(shè)。 （一） 忽略相關(guān)變量 美國(guó)與西班牙交戰(zhàn)期間，紐約曾出現(xiàn)這樣的宣傳口號(hào)：“離開紐約，去參加軍隊(duì)，因?yàn)樵谲婈?duì)比呆在紐約更安全！”原來，證明這樣的結(jié)論有統(tǒng)計(jì)上的根據(jù)：美國(guó)海軍的死亡率是 9?，而紐約市居民的死亡率是 16?。這兩個(gè)數(shù)據(jù)的對(duì)比實(shí)際上沒有意義，因?yàn)楹雎粤藳Q定死亡率的很多變量。海軍由那些體格健壯的年輕人組成，而 紐約居民中包括了嬰兒、老人和病人。后者在哪里都有較高的死亡率。因此，兩個(gè)數(shù)據(jù)根本不能相比，更不用說符合參軍標(biāo)準(zhǔn)的人在海軍會(huì)比在其他地方有更高的存活機(jī)會(huì)。 （二） 遺漏信息的數(shù)字 我們的計(jì)算機(jī)銷售市場(chǎng)份額增加了 50％，而我們的對(duì)手只增加了 25％。 本市兇殺案比去年增長(zhǎng)了 67％。 這兩個(gè)例子，都使用了正確的百分比。然而，它們卻遺漏了一件重要的信息即百分比所基于的絕對(duì)數(shù)字。如果想暗示隱含結(jié)論：我們的業(yè)績(jī)更好或犯罪浪潮席卷本市，那是不適當(dāng)?shù)?。也許我們的計(jì)算機(jī)銷售是從原來所占市場(chǎng)份額的 2％提高到了 3％，而對(duì)手是 從原來所占的 60％提高到了 75％。孰優(yōu)孰劣？假如我們知道所謂兇殺案的增長(zhǎng)只不過是從3 件增加到 5 件，你心中的石頭準(zhǔn)會(huì)落回到地上了。所以，在遇到百分比的時(shí)候，應(yīng)該仔細(xì)想一想，該百分比所憑借的數(shù)字是什么？一旦對(duì)手拿百分比進(jìn)行比較，你更要對(duì)此當(dāng)心。 利用百分比眩人耳目，還有另一種常見的方式：選取便利合用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。如果想 使數(shù)據(jù)大得駭人，只需把它表現(xiàn)成某個(gè)小數(shù)字的百分?jǐn)?shù)；反之，如果想讓數(shù)據(jù)微不足道， 只需把它變成某個(gè)大數(shù)字的百分?jǐn)?shù)。表面的龐大和微小都是有奧秘在里邊的： 假若有 785 名心理醫(yī)生都對(duì)精神 失常的被告表示支持，便有充分的理由讓我們也對(duì)其表示支持。 今年有 萬多人來買汽車，我們汽車公司最好的年頭到底來了。 拳擊并不如其他體育項(xiàng)目危險(xiǎn)。這是因?yàn)橐豁?xiàng)與體育有關(guān)的死亡統(tǒng)計(jì)顯示，該市棒球的死亡人數(shù)為 43 人，在死亡率方面領(lǐng)先于足球（ 22 人）和拳擊（ 21 人）。 這些數(shù)字，有的盡力求大，有的著力求小，有的努力求準(zhǔn)，目的都不外讓你印象深刻。但是實(shí)際上，我們可以發(fā)現(xiàn)許多疑點(diǎn)。難道不需要知道有多少心理醫(yī)生接到了調(diào)查表，多少名做出了回答，他們的合格程度怎樣？增長(zhǎng)用萬的百分?jǐn)?shù)會(huì)不會(huì)更有意義？很可能銷售量不 過是從 萬增長(zhǎng)到 萬，而其他汽車的銷售量比它不知要大出多少倍。不了解參加這些體育項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)便去計(jì)算百分?jǐn)?shù)，誰知道拳擊手的總數(shù)是否比棒球手的總 138 數(shù)低出許多？ （三） 樣本偏頗 在統(tǒng)計(jì)推理中，違反抽取隨機(jī)性標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)具有代表性要求的樣本是偏頗的。一個(gè)為人們所津津樂道的、聞名全世界的例子是 1936 年《文學(xué)文摘》（ Literary Digest）因一個(gè)統(tǒng)計(jì)推理謬誤的慘敗。該刊 成功地預(yù)測(cè)了 1924 年、 1928 年和 1932 年美國(guó)總統(tǒng)的選舉結(jié)果，使其名聲大振?！段膶W(xué)文摘》的方法創(chuàng)新在于將局部性民意測(cè)驗(yàn)推廣到全 國(guó)。其抽樣調(diào)查的樣本框來源于電話號(hào)碼簿和汽車登記記錄 。 1936 年， 擁有 1000 萬訂閱者的 《文學(xué)文摘》共發(fā)出 2020 多萬張選票，回收 237 萬張選票，預(yù)測(cè) 蘭登與羅斯福的票數(shù)比是 370:161，該刊 根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果宣布：蘭登將擊敗羅斯福！但投票結(jié)果是，羅斯福以 2775 萬票贏得了 46個(gè)州，比對(duì)手蘭登多 1107 萬張選票，選舉人票是 52