【正文】 )212()201()194()181( ????????? ≈ 把集合中的數(shù)字由小 到 大排列出來，而位于正中間 的 那個(gè)數(shù)字便是該集合的中位數(shù)。 例如， 本公司職員月平均收入是 2500 元 我們雜志讀者的平均年齡是 34 歲 這個(gè)居民區(qū)中家庭的年均收入為 2 萬元 但是，“平均數(shù)”有三個(gè)不同的意義：均數(shù)（算術(shù)平均數(shù) mean）、中位數(shù)（ median）和眾數(shù)（ mode）。 3%，即 49％－ 55％，換句話說，選民中 49％到 55％的人支持甲，這一結(jié)論的概率達(dá)到 95%。由于這個(gè)緣故，人們常把對總體百分比的估計(jì)叫 “ 區(qū)間估計(jì) ” 。數(shù)字和科學(xué)術(shù)語并不是無偏頗樣本的代用品。可投票時(shí)發(fā)現(xiàn)，有 90％的黑人支持他。 顯然，許多人寧愿回答令人喜歡（愉快）的人提出的問題。而“你被灌醉過多少次？”“你有過多少婚外情？”將可能得到低估的回答。首先，如果構(gòu)成樣本的人們認(rèn)為由于他們提供的回答而獲得或損失某些東西時(shí)，可以想像， 他們的受牽連的事務(wù)將影響回答結(jié)果。那些上全班的大多數(shù)人在白天無法接聽電話；即使電話在晚上打，未列入的號碼也大約占總體的 30％。 11 當(dāng)樣本是由人所構(gòu)成的時(shí)，隨機(jī)性要件可能更多地出現(xiàn)問題。 4 600 177。 樣本大小和抽樣誤差 考察數(shù)量 誤差范圍（ 百分點(diǎn)） 4000 177。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這種接近性的程度用“抽樣誤差”來表示。例如，如果采用這種方法進(jìn)行市民安全感調(diào)查，訪問員往往不去骯臟的老城區(qū)，往往也只愿意在白天進(jìn)行訪問，這樣一來，他們就可能系統(tǒng)地排除了經(jīng)濟(jì)地位低下的居民、上夜班的居民等。然后在于每一層中進(jìn)行隨機(jī)抽樣。由于擲骰子的結(jié)果是隨機(jī)的，因此這種挑選也是隨機(jī)的。假若零件并不 是隨機(jī)地安排在傳送帶上，用這樣的程序獲得的樣本并不是隨機(jī)的。因?yàn)檠茄h(huán)流動的，能夠假定它與血糖的關(guān)系是同質(zhì)的。例如 ， 假設(shè)天文臺只在香港島裝置雨量器作為收集香港降雨量的資料，則這個(gè)抽樣方法就有偏差，因?yàn)橄愀蹗u只是香港其中一個(gè)主要地域，所以香港島的降雨量（樣本）未能代表香港的降雨量（總體）?？傮w是由人還是其他對象構(gòu)成，要考慮不同的因素來確定樣本是否典型。一個(gè)準(zhǔn)確和可靠的 抽樣統(tǒng)計(jì) ，就是 要 保證 從 對 樣本搜集 的 數(shù)據(jù) 的 分析結(jié)果必須能夠推廣到總體（整個(gè)研究對象的集合）上。于是，得出結(jié)論：男孩的出生率約占 22／ 43。 試看以“男性，健康的弱者”為題的一個(gè)報(bào)道，如何通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來證明它的觀點(diǎn)： 男女壽命差距從 20 世紀(jì) 20 年代的 1 歲，擴(kuò)大到今天的 5 歲； 美國 15 種最主要致命疾病中都是男性死亡人數(shù)比女性多； 死于交通事故或謀殺的概率是女 性的 2 倍多； 診斷出艾滋病的概率是女性的 3 倍多； 自殺的概率是女性的 4 倍多； 132 女性更易接受醫(yī)療保健，更愿意尋求社會和感情上的支持； 男性從受精一刻起就十分脆弱，在懷孕期間和童年，當(dāng)我們還不能控制自己的健康時(shí)，男孩的死亡數(shù)字就比女孩多，即便有了最精心的照顧和喂養(yǎng)，男人早死的機(jī)會也更大； 美國男性 26%抽煙；酗酒的概率幾乎是女性的 2 倍； 在美國從事 30 種高?；顒拥臋C(jī)會男人比女人高； 男人占美國入獄犯的 94%?? 統(tǒng)計(jì)推理已滲透到我們的全部日常生活。 第三節(jié) 統(tǒng)計(jì)推理 反例的出現(xiàn)使枚舉歸納壽終正寢。而且，它是在各種情況下進(jìn)行這些觀察的：在星期三和星期四，在熱天和冷天，在雨天和晴天。羅素在論說“歸納主義者”時(shí)描述了一只火雞的故事。 違反這三個(gè)條件的枚舉歸納，將犯“倉促概括”、“偏倚概括”和“躲避 反例”的謬誤。對于枚舉歸納來說，條件 (3)即沒有發(fā)現(xiàn)反例 (不具有性質(zhì) P 的 S)是攸關(guān)的。應(yīng)該在高壓和低壓、高溫和低溫下加熱，如此等等。顯然，用這種方法得到的一系列觀察陳述，不能為相應(yīng)的概括形成一個(gè)令人滿意的基礎(chǔ)。 (3)沒有任何公認(rèn)的觀察陳述和推導(dǎo)出的普遍性結(jié)論發(fā)生沖突。推理的形式是： S1 是 (或不是 )P S2 是 (或不是 )P S3 是 (或不是 )P …… Sn 是 (或不是 )P S1 － Sn 為 S 類部分對象 所以，可能所有 S 是 (或不是 )P 如果某些條件被滿足，利用這種推理從有限的單稱觀察陳述中概括出普遍性定律是合理的。例如， 游覽桂林的人，到七星巖、蘆笛巖看到了仙境般的洞府，到伏波山又看到了布滿石刻的還珠洞，到疊彩山又看到了清風(fēng)徐來的風(fēng)洞。例如，同樣具有枚舉歸納這種結(jié)構(gòu)的兩個(gè)論證，它們的強(qiáng)度可能有很大差異，甚至一個(gè)是合理論證，另一個(gè)卻是謬誤。事實(shí)上，歸納論證的形式由兩部分組成。一個(gè)歸納論證是強(qiáng)的，僅當(dāng)其前提為真時(shí)，結(jié)論為真是很可能的。 有了這種限定，就等于做出某種退卻，即達(dá)不到無可置疑的境界，轉(zhuǎn)而追求不太可疑的局面。然而，我們使用歸納論證的意圖并不在于使自己的主張或決策得到完全正確的擔(dān)保。從現(xiàn)代觀點(diǎn)來看，完全歸納推理和其他歸納推理有完全不同的性質(zhì)，因而可排除出去；彌爾式的求因果方法 難以確定不同性質(zhì)條件下的因果關(guān)系，可用新的條件因果推理取代。但 歸納推理的強(qiáng)度 則有可能因新增的信息或 前 提 而 變化 。但歸納推理的前提對結(jié)論的支持強(qiáng)度可以有所不同， 論證的強(qiáng)弱，可以有程度上的區(qū) 別。但歸納推理 的結(jié)論卻顯然超出其前提的內(nèi)容，因而具有某種擴(kuò)展性。但是，即使我們接受前提而否認(rèn)結(jié)論，也不會陷入矛盾。如果他買了 9999 張這樣的彩票，他夸?？谝膊粸檫^。歸納推理是那種其前提僅僅給予結(jié)論某種概率等級的而非必然支持的推理。樵夫根據(jù)自己 經(jīng)歷 的 多次 個(gè)別經(jīng)驗(yàn) ，得 出了 “ 碰破足趾能治好頭痛 ”的一般 結(jié)論。后來 ， 頭疼復(fù)發(fā)，又偶然碰破原處，頭疼又好了。 128 第七章 歸納論證 古文獻(xiàn) 《內(nèi)經(jīng) 這引起 他的 注意 。 他 所運(yùn)用的推理就是歸納推理 的“簡單枚舉”推理 。例如， 某幸運(yùn)抽獎(jiǎng) 在 10000 張彩票 中設(shè) 一張中 大 獎(jiǎng)彩票 甲買了 x 張 這種 彩票 所以 ， 甲 可能 會中 大 獎(jiǎng) 也許甲中大獎(jiǎng)的可能性微乎其微，也許報(bào)有較大的期待是合理的，也許甲敢夸下?？?，他中大獎(jiǎng)十拿九穩(wěn)。 演繹推理具有保真性，即在使用它時(shí)，我們相信，前提真時(shí)結(jié)論不可能假。這就是說，一個(gè)好的歸納推理并不排除其結(jié)論為假的可能性。它能擴(kuò)展我們的實(shí)際知識，結(jié)論包括新信息。當(dāng) x 的值由 1 一直增加至 9999 時(shí)， “甲會中大獎(jiǎng)”得到的支持越來越大，即 論證的強(qiáng)度不斷增高。當(dāng) x 為 9999 時(shí)， 彩票 論證十分強(qiáng)，但若我們得到新 信息：此 抽獎(jiǎng)有人作弊，論證的強(qiáng)度自然下跌 。本書討論的歸納推理的類型共有 4 種：簡單枚舉推理、統(tǒng)計(jì)推理、歸納決策和條件因果推理。我們只是想得到某種程度的擔(dān)保，如果這種擔(dān)保程度較高則正中下懷。這就如同選擇終身伴侶一樣，既然我們不可能挑選出才貌雙全的天仙般的公主，那么，五官端正也是可以接受的選擇。這也等于說，一個(gè)強(qiáng)的歸納論證，其前提真而結(jié)論假是不大可能的。一部分是顯示論證結(jié)構(gòu)的，這是某一類歸納論證的所有實(shí)例都具備的，如所有簡單枚舉歸納的結(jié)構(gòu)都是：“ S1是 P， S2 是 P?? Sn 是 P，沒有反例 (即不是 P 的 S)， S1－ Sn只是 S 類的部分對象，所以，可能所有 S 是 P”。這就要看是否滿足諸如此類的條件：考察了各種條 件下的、大量的 S，在最有可能存在反例的地方努力尋找反例而未果等等。于是，游客很自然地產(chǎn)生了一種想法：桂林的山是不是個(gè)個(gè)都有洞 ?有的游客則干脆說：桂林的山都是有洞的。例如，可以合理地從涉及石蕊試紙浸在酸中變紅的一系列有限觀察陳述中概括出普遍性定律“酸使石蕊變紅”，或者從一系列受熱金屬的觀察中概括出定律 “金屬受熱膨脹”。 只在觀察一根或少數(shù)幾根金屬棒膨脹的基礎(chǔ)上就做出所有金屬受熱膨脹的結(jié)論，顯然是不合理的，正如在觀察一兩個(gè)酒醉的陜北人的基礎(chǔ)上就做出所有的陜北人都是酒徒的結(jié)論是不合理的一樣。這就是為什么條件 (2)是必要的。如果在所有這些情況下，所有受熱的金屬樣品都膨脹，那時(shí)，也只有在那時(shí)，從所得的一系列觀察陳述中概括出普遍性結(jié)論才是合理的。正是這一點(diǎn)既構(gòu)成枚舉歸納的合理基礎(chǔ)，也成為它始終面臨威脅的源泉。 但是，即使在滿足這三個(gè)條件時(shí)，錯(cuò)誤結(jié)論的危險(xiǎn)依然存在。這只火雞發(fā)現(xiàn)，在火雞飼養(yǎng)場的第一天上午九點(diǎn)鐘給它喂食。它每天都在它的表中加進(jìn)另一個(gè)觀察陳述。但這并不能阻止我們推理的步伐。 一、統(tǒng)計(jì)概括 當(dāng)我們的概率推理以頻率理論為基礎(chǔ)時(shí)，就可以 從 總體中抽取一部分 對象 作為樣本，考察樣本中的每一 對象 ， 得 出樣本 中某一性質(zhì)出現(xiàn) 的概率，然后再根據(jù)樣本的概率推測總體的概率。 統(tǒng)計(jì)概括的一般形式是 隨機(jī)樣本中有 N（百分?jǐn)?shù)）的 S 是（或不是） P 所以，可能總體 P 中有 (177。然而，怎樣的抽樣統(tǒng)計(jì)才能 保證 達(dá)到這個(gè)目標(biāo)呢？ 基本條件是：樣本有代表性；考慮抽樣誤差；正確理解數(shù)據(jù)的意義。一般要考慮三個(gè)因素：； ； 。假若現(xiàn)在香港島、新界、九龍和大嶼山各區(qū)都裝置了雨量器以收集雨水，這樣的抽樣是否就免于偏差呢？若果雨量器所處的地方有些在野外空地、有些在樹蔭下、有些在瀑布或溪澗旁 邊等等，那么在某些地點(diǎn)落下的 133 雨水被雨量器收集 的概率 會比其 他 地點(diǎn)的高（位于某些地點(diǎn)的雨量器甚至連并非來自降雨的水也收集下來）。但是，當(dāng)總體由離散的單元組成時(shí)，必須更多地注意隨機(jī)性要求。因?yàn)橛羞@樣一種可能：由于機(jī)械過程的某個(gè)故障，每到第 10 個(gè)零件就產(chǎn)出優(yōu)等品，其余均為非優(yōu)等品。 在考慮到難度和經(jīng)濟(jì)代價(jià)時(shí)，分層抽樣作為純隨機(jī)抽樣的替代品。但分層抽樣可能遇到分組比例的信息的正確性問題。因此，調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性就可能因忽略了這部分群體的意見而受到 影響。抽樣誤差是樣本中某性質(zhì)出現(xiàn)的頻率與總體中該性質(zhì)出現(xiàn)頻率之間的差距。 2 1500 177。 5 134 400 177。一 個(gè)較少偏頗的樣本似乎可能通過從電話簿隨機(jī)選擇電話號碼而獲得。調(diào)查表隨雜志的某一期 發(fā)出，回收后得到的樣本也有局限性，得出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)很難推廣到比該雜志讀者更大的群體上。例如，如果一項(xiàng)研究需要調(diào)查居民的收入，以便決定能否承擔(dān)得起提高的所得稅，那么，人們會低估收入。類似的夸大也可能是一個(gè)提問的措詞的后果。美國 1988 年大選，報(bào)紙?jiān)鴮芪?原來，在民意測驗(yàn)中，黑人不愿意把自己真正的想法告訴那些白人調(diào)查員。 （二） 區(qū)間估計(jì) 抽樣誤差本質(zhì)上并非錯(cuò)誤，因?yàn)橹挥?對總體的每一個(gè)分子都進(jìn)行調(diào)查（然而這就不是抽樣統(tǒng)計(jì)）才會得到與總體完全相等的數(shù)據(jù)，所以再完善的抽樣統(tǒng)計(jì)程序和方法都無法避免有抽樣誤差。這個(gè)區(qū)間通常叫置信區(qū)間，其大小與樣本的容量 N的大小有關(guān)。 所以，我們可以說，所有統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論，都應(yīng)是以兩個(gè)數(shù)為邊際數(shù)的區(qū)間。在評估依賴平均數(shù)的論證時(shí)，知道被使用的“平均數(shù)”一詞的精確意義常常是重要的。上列年齡表的數(shù)字集合可寫為｛ 18,19,19,19,19,20,21,21,22,22,22｝，一共有 11 個(gè)數(shù)，第 6個(gè)便是中位數(shù)，即 20。譬如，由于一些不尋常的情況，數(shù)據(jù) ｛ 2, 5, 5, 8, 10｝ 改變成 ｛ 2, 5, 5, 8, 100｝ ，這個(gè)數(shù)據(jù) 的 均數(shù)會由 6增加到 24，但中位數(shù)就不受這個(gè)異常情況所影響而維持在 5 不變。 在年齡例子中，均數(shù)、中位數(shù)和 眾數(shù)相互不同，但很接近。這三個(gè)數(shù)值都表示該公司的平均年薪酬，但是在不同的意義上。假如公司之外的人認(rèn)為，該公司付的只是維持生活的工資，那么經(jīng)理可以回應(yīng)說，本公司的平均工資是非常高的 65000 元。這就是對應(yīng) 于隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)組。但 不談取樣方 法 ，不 言 樣本容量，不考慮誤差范圍， 不澄清數(shù)字含義 ， 都可能使推理變成謬誤或失去意義。這兩個(gè)數(shù)據(jù)的對比實(shí)際上沒有意義，因?yàn)楹雎粤藳Q定死亡率的很多變量。 （二） 遺漏信息的數(shù)字 我們的計(jì)算機(jī)銷售市場份額增加了 50％，而我們的對手只增加了 25％。如果想暗示隱含結(jié)論：我們的業(yè)績更好或犯罪浪潮席卷本市，那是不適當(dāng)?shù)摹? 利用百分比眩人耳目，還有另一種常見的方式：選取便利合用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。 拳擊并不如其他體育項(xiàng)目危險(xiǎn)。難道不需要知道有多少心理醫(yī)生接到了調(diào)查表，多少名做出了回答，他們的合格程度怎樣？增長用萬的百分?jǐn)?shù)會不會更有意義？很可能銷售量不 過是從 萬增長到 萬，而其他汽車的銷售量比它不知要大出多少倍?！段膶W(xué)文摘》的方法創(chuàng)新在于將局部性民意測驗(yàn)推廣到全 國。 后來的大學(xué)論文和報(bào)社評論員發(fā)現(xiàn)， 1936 年有能力購買電話和訂閱雜志的人并不能真正代表選民，樣本偏向了與一般人相比具有高收入、受過良好教育、信息來源廣、靈敏度更高、舉止優(yōu)雅、行為保守、更多固定習(xí)慣等特點(diǎn)的群體。 （四） 樣本太小 來看一看被從事社會學(xué)專業(yè)的評論者認(rèn)為是“ 弱智的一塌糊涂的一則新聞”。其實(shí)，那么小的樣本量，用來做推論性的論斷，只有兩個(gè)字評價(jià) ——“垃圾”，我相信任何學(xué)過統(tǒng)計(jì)，學(xué)過抽樣的人都會和我有同感。賭徒的錯(cuò)誤在于誤解了“大數(shù)定律”或“平均定律” 。但是，這種概率只是一個(gè)長的過程或趨勢的性質(zhì)。當(dāng)病人的家屬被嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生又不緊不慢地說 ，但您們很幸運(yùn)，因?yàn)槟鷤冇龅搅宋?，我之前所看過的這種病人已有 9 個(gè)死掉了。美國《時(shí)代》雜志（ 1954 年）在描述該雜志的新訂閱者時(shí)寫道，“他們的平均年齡（中位數(shù)）為 34 歲，家庭平均年收入為 7270 美元”。當(dāng)你有一天打算應(yīng)聘某一公司時(shí)，看到招