【正文】 gn of optimum multifactorial experiments.[J]. Biometrika, 1946, 33: 305– 325. [6]Hanani H. Balanced inplete block designs and related designs[D]. Discrete Math, 1975, 11: 255369. [7] Wu X H A. Construction of optimal multilevel supersaturated designs[J]. Ann. Statist., 2020, 33: 2811–2836. [8]Wilson R M. An existence theory for pairwise balanced design[J]. . Theory Ser A, 1972, 13: 220273. [9]Wilson D A R. Solution of Kirkman’s schoolgirl problem[J]. Proc. Sympos. Pure Math, 1971, 19: 187203. [10]Lu J. An existence theory for resolvable balanced inplete block designs[J]. Acta Math. Sinica, 1984, 27: 458468. [11]Chen J and Liu, et al. Optimalmixedlevel kcirculant supersaturated designs[J]. J. Statist. Plann Inference, 2020, 138: 4151–4157. [12]Baker R D. Resolvable BIBD and SOLS[J]. Discrete Math, 1983, 44: 1329. [13]Hanani H, Ray Chaudhuri D K and Wilson R. On resolvable designs[J]. Discrete Math, 1972, 3: 343 357. [14]Ray Chaudhuri D K and Wilson R. The existence of resolvable block designs[J]. A Survey of Combinatorial Theory, 1973, 11: 361375. [15]Fang K T and Lin, et al. Optimal mixedlevel supersaturated design[J]. Metrika, 2020, 58: 279–291. VIII 本課題必須完成的任務(wù)： (1)介紹 BIBD、 RBIBD的構(gòu)造方法以及例子； (2)介紹轉(zhuǎn)動(dòng)可分解的構(gòu)造方法以及不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的構(gòu)造，并且其在超飽和設(shè)計(jì) 中的應(yīng)用； (3) 給出 60?v 時(shí) 部分或完全的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的結(jié)果 ． 成果形式 論文 進(jìn)度計(jì)劃 起訖日期 工作內(nèi)容 備 注 1 月 10 日－ 2 月 28 日 選題、 查閱文獻(xiàn)資料 3 月 1 日－ 3 月 5 日 開題報(bào)告 3 月 6 日－ 3 月 19 日 根據(jù)開題報(bào)告情況繼續(xù)查閱文獻(xiàn)資料 3 月 20 日－ 4 月 20 日 寫出論文第一稿 ,并完成外文翻譯 4 月 21 日－ 5 月 5 日 指導(dǎo)老師批閱論文第一稿 5 月 6 日－ 5 月 19 日 修改論文 ,并定稿 5 月 20 日－ 5 月 31 日 指導(dǎo)教師評(píng)定成績(jī) ,評(píng)閱老師評(píng)閱論文 ,寫出評(píng)閱意見(jiàn)． 6 月 1 日－ 6 月 15 日 答辯 教研室審核意見(jiàn) 該任務(wù)書的內(nèi)容符合南通大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）要求和本專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo) ,同意下發(fā) . 教研室主任簽名： 年 月 日 學(xué)院意 見(jiàn) 教學(xué)院長(zhǎng)簽名： _ 年 ___月 __ 日 注：此表為參考表格 ,學(xué)院可根據(jù)專業(yè)特點(diǎn) ,對(duì)該表格進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷?. IX 南通大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開題報(bào)告 學(xué)生姓名 陳媛 學(xué) 號(hào) 0902072020 專業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 課題名稱 轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的構(gòu)造及其應(yīng)用 閱讀文獻(xiàn) 情 況 國(guó)內(nèi)文獻(xiàn) 0 篇 開題日期 20200307 國(guó)外文獻(xiàn) 15 篇 開題地點(diǎn) 理學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)教研室 一． 文獻(xiàn)綜述與調(diào)研報(bào)告：（闡述課題研究的現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)，本課題研究 的意義和價(jià)值、參考文獻(xiàn)） 可分解設(shè)計(jì)是組合數(shù)學(xué)中研究的經(jīng)典問(wèn)題 .具有特殊結(jié)構(gòu)的可分解設(shè)計(jì)在密碼理論、統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用 .如不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)能在統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的超飽和設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)最優(yōu) ?k 循環(huán)的超飽和設(shè)計(jì)，它廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)、軟件測(cè)試、醫(yī)藥、工業(yè)和生物工程試驗(yàn)領(lǐng)域 .構(gòu)建二水平因子的超飽和設(shè)計(jì)的方法已經(jīng)在許多著作中被涉及 .多水平超飽和設(shè)計(jì)也已經(jīng)被一些研究人員研究 .Lin 和 Dean（ 2020） 提出了 ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)，并且給出了他們對(duì)于二水平因子的解釋 .本文主要介紹轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的定義以及構(gòu)造方法，并通過(guò)計(jì)算機(jī)編程計(jì)算 60?v 的 Rotational RBIBD。對(duì)本研究提供過(guò)幫助和做出過(guò)貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。 I 本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的構(gòu)造及其應(yīng)用 II 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過(guò)的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過(guò)的材料。 作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日 期： 使用授權(quán)說(shuō)明 本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉?jī)?nèi)容。介紹利用 Rotational RBIBD構(gòu)造最優(yōu) ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)，以及其在實(shí)際中的應(yīng)用 . 定義 1[1] 設(shè) X 為一個(gè)有限集， Β 為 X 的一個(gè)子集族 ,則稱此序?qū)?),( ΒX 是集 X 上的一個(gè)區(qū)組設(shè)計(jì)， Β的元素稱為區(qū)組 . 進(jìn)一步，設(shè) v 與 ? 為給定的正整數(shù)， k 是給定的正整數(shù)，若區(qū)組設(shè)計(jì) ),( ΒX 滿足： (i) vX? ； (ii)對(duì)任意 Β?B ，都有 kA? ； (iii)X 中任意一對(duì)不同的點(diǎn)都恰好同時(shí)包含在 ? 個(gè)區(qū)組中， 當(dāng) 2??kv 時(shí)，則稱為平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，記為 BIBDkv ?),( λ . 易知， BIBDkv ?),( λ 的必要條件是??? ??? ??? )).1(( m od0)1( )),1( m od (0)1( kkvv kv?? （ 1） 當(dāng) 53 ??k 時(shí)，平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的存在性由 Hanani[14]在 1975 年證明 . 定理 1 ([2])設(shè) λ,kv 都是正整數(shù)，如果 53 ??k ，并且 kv? ，則除去 )2,5,15( 不存在外 , BIBDkv ?),( λ 存在的必要條件 (1)也是充分的 . 平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的存在性問(wèn)題是轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)理論中的一個(gè)基本問(wèn)題，條件 (1)是BIBDkv ?),( λ 存在的基本必要條件，不過(guò)這些條件并不是充分的 . Jr. (1967) 提出了下面這個(gè)著名的存在性猜想 . X 猜想 1 (存在性猜想 )給定正整數(shù) λ，k ，對(duì)滿足條件 (1)的正整數(shù) v ，除去有限個(gè)例外 , BIBDkv ?),( λ 都存在 . Wilson[3]對(duì)上訴存在性猜想給出了證明，有下述“漸進(jìn)存在性定理” . 定理 2 ([3])給定正整數(shù) k 和 ? ，存在常數(shù) ),(00 ?kvv ? ，使得當(dāng) 0vv? 時(shí)， BIBDkv ?),( λ 存在的必 要條件 (1)也是充分的 . 定義 2[4] 設(shè) ),( ΒX 是一區(qū)組設(shè)計(jì)， Β?p ，若 p 構(gòu)成 X 的一個(gè)劃分，則稱 p 為此設(shè)計(jì)的一個(gè)平行類 . 如果區(qū)組 Β 能被劃分成平行類，則稱此設(shè)計(jì)為可分解的 .如果一個(gè) RBIBDkv ?),( λ 是可分解 的 ,則稱為可分解平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，記為 RBIBDkv ?),( λ . 易知， RBIBDkv ?),( λ 存在的必要條件為??? ??? ? )).1( m od (0)1( ),( m od0 kv kv? （ 2） 3?k 時(shí)， RBIBDkv ?),( λ 的存在性主要依賴于 2,1?λ 的情形 . )1,3(),( ?λk 的存在性問(wèn)題，也是歷史上著名的 Kirkman 女生問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一百多年的研究，于 1971 年由 RayChaudhuri 和 Wilson[5] 解決 .而 )2,3(),( ?λk 的情形由 Hanani[6]于 1974 年解決 . 定理 3 ([7])當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立時(shí)， RBIBDv ?),3,( λ 存在 . 1. )6(mod3?v ,且 )2(mod1?λ 。 3. )3(mod0?v , 6?v ,且 )4(mod2?λ . 4?k 時(shí) ， RBIBDv ?),4,( λ 的存在性主要依賴于 3?λ 的情形 .1972 年， Hanani 等解決了 1?λ時(shí)的情形，即 RBIBDv ?)1,4,( 的存在性 .Baker 解決了 (k,? )=(4,3)的情形，即 RBIBDv ?)3,4,( 的存在性 . 定理 4 ([8])當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立時(shí)， RBIBDv ?),4,( λ 存在 . 1. )12(mod4?v ,且 1,2(mod3)λ ? ； 2. )4(mod0?v ，且 0(mod3)λ? 。γ39。12 ...,( pppXD ??? ?? ΒΒ 是兩個(gè)?? )1,( kkv Rotational RBIBD，其中 39。39。121 ??? pppppp ?，則 1D 與 2D 是同構(gòu)的 .若不存在這樣的 β ，則 1D 與 2D 是不同 構(gòu)的 . 以下是通過(guò)上面的構(gòu)造方法，同時(shí)利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算出了一些不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)南通大學(xué)畢業(yè)論文 4 計(jì)的例子 . 引理 存在一對(duì)不同構(gòu)的 ?)3,4,16( Rotational RBIBD. 證明：根據(jù)上面的構(gòu)造方法，在 ? }{15 ?Z 上構(gòu)造基平行類，其基區(qū)組見(jiàn)下表： 序號(hào) 基區(qū)組 1 基區(qū)組 2 初始區(qū)組 (0,1,2,5) (0,2,3,7) (3,8,11,12) (1,4,8,13) (4,6,10,13) (5,9,10,11) (7,9,14,?) (6,12,14,?) 通過(guò)驗(yàn)證，滿足不同構(gòu) .所以存在一對(duì)不同構(gòu)的 ?)3,4,16( Rotational RBIBD. 引理 存在一對(duì)不同構(gòu)的 ?)3,4,20( Rotational RBIBD. 證明：根據(jù)上面的構(gòu)造方法，在 ? }{19 ?Z 上構(gòu)造基平行類 .其基區(qū)組見(jiàn)下表： 序號(hào) 基區(qū)組 1 基區(qū)組 2 初始區(qū)組 (3,4,5,18) (6,10,12,16) (1,2,8,12) (5,9,14,17) (0,7,10,14) (0,2,11,18) (6,9,15,17) (1,3,4,15) (11,13,16， ?) (7,8,13,?) 通過(guò)驗(yàn)證，滿足不同構(gòu) .所以存在一對(duì)不同構(gòu)的 ?)3,4,20( Rotational RBIBD. 引理 存在一對(duì)不同構(gòu)的 ?)3,4,24( Rotational RBIBD. 證明：根據(jù)上面的構(gòu)造方法，在 ? }{23 ?Z 上構(gòu)造基平行類 .其基區(qū)組見(jiàn)下表： 序號(hào) 基區(qū)組 1 基區(qū)組 2 初始區(qū)組 (4,7,11,15) (4,10,15,19) 南通大學(xué)畢業(yè)論文