【正文】 1,.....,2,1。1,...,2,1。( ?vkvvD 是最優(yōu)的 . 我們現(xiàn)在考慮下面的結(jié)果，這將有助于證明我們的主要結(jié)果定理 . 定理 對于 l循環(huán)設(shè)計 ,......,2,1),1,。( ?vkvvDj 表示從第 j 個生成列得到的循環(huán)設(shè)計，同時 ijd 表示第 i列，并且 ijpd 表示 ijd 的第 p 個元素， 1, . . . . ,1。39。γ39。介紹利用 Rotational RBIBD構(gòu)造最優(yōu) ?k 循環(huán)設(shè)計，以及其在實際中的應(yīng)用 . 定義 1[1] 設(shè) X 為一個有限集， Β 為 X 的一個子集族 ,則稱此序?qū)?),( ΒX 是集 X 上的一個區(qū)組設(shè)計， Β的元素稱為區(qū)組 . 進一步，設(shè) v 與 ? 為給定的正整數(shù)， k 是給定的正整數(shù)，若區(qū)組設(shè)計 ),( ΒX 滿足： (i) vX? ； (ii)對任意 Β?B ，都有 kA? ； (iii)X 中任意一對不同的點都恰好同時包含在 ? 個區(qū)組中， 當(dāng) 2??kv 時，則稱為平衡不完全區(qū)組設(shè)計，記為 BIBDkv ?),( λ . 易知， BIBDkv ?),( λ 的必要條件是??? ??? ??? )).1(( m od0)1( )),1( m od (0)1( kkvv kv?? （ 1） 當(dāng) 53 ??k 時，平衡不完全區(qū)組設(shè)計的存在性由 Hanani[14]在 1975 年證明 . 定理 1 ([2])設(shè) λ,kv 都是正整數(shù)，如果 53 ??k ，并且 kv? ，則除去 )2,5,15( 不存在外 , BIBDkv ?),( λ 存在的必要條件 (1)也是充分的 . 平衡不完全區(qū)組設(shè)計的存在性問題是轉(zhuǎn)動可分解設(shè)計理論中的一個基本問題，條件 (1)是BIBDkv ?),( λ 存在的基本必要條件，不過這些條件并不是充分的 . Jr. (1967) 提出了下面這個著名的存在性猜想 . X 猜想 1 (存在性猜想 )給定正整數(shù) λ，k ，對滿足條件 (1)的正整數(shù) v ，除去有限個例外 , BIBDkv ?),( λ 都存在 . Wilson[3]對上訴存在性猜想給出了證明，有下述“漸進存在性定理” . 定理 2 ([3])給定正整數(shù) k 和 ? ，存在常數(shù) ),(00 ?kvv ? ，使得當(dāng) 0vv? 時， BIBDkv ?),( λ 存在的必 要條件 (1)也是充分的 . 定義 2[4] 設(shè) ),( ΒX 是一區(qū)組設(shè)計， Β?p ，若 p 構(gòu)成 X 的一個劃分，則稱 p 為此設(shè)計的一個平行類 . 如果區(qū)組 Β 能被劃分成平行類，則稱此設(shè)計為可分解的 .如果一個 RBIBDkv ?),( λ 是可分解 的 ,則稱為可分解平衡不完全區(qū)組設(shè)計，記為 RBIBDkv ?),( λ . 易知， RBIBDkv ?),( λ 存在的必要條件為??? ??? ? )).1( m od (0)1( ),( m od0 kv kv? （ 2） 3?k 時， RBIBDkv ?),( λ 的存在性主要依賴于 2,1?λ 的情形 . )1,3(),( ?λk 的存在性問題，也是歷史上著名的 Kirkman 女生問題，經(jīng)過一百多年的研究，于 1971 年由 RayChaudhuri 和 Wilson[5] 解決 .而 )2,3(),( ?λk 的情形由 Hanani[6]于 1974 年解決 . 定理 3 ([7])當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立時， RBIBDv ?),3,( λ 存在 . 1. )6(mod3?v ,且 )2(mod1?λ 。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。 2. )3(mod0?v ,且 )4(mod0?λ 。239。239。, . . . . . ,1。( mjvkvvD j ?? 1, . . . . . . . ,2,1。2,....,2,1。2,....,2,1。, ?????????? .現(xiàn)在考慮 stj? 的貢獻從每個 jD 中 1?v 列 .第一貢獻列可以看做為jtjsdd 11 ,?.現(xiàn)在，根據(jù)（ 2）式，列 1,......,3,2 ?v中第 s 個元素和第 t 個元素也對應(yīng)一在第一列中的元素 .因此，從 )1( ?h l 列中的第 s 個元素和第 t 個元素對 stj? 的貢獻是來自第一列中的對 jpd1 和 jqd1 ， ),(),( tsqp ? ，即滿足 (a) thqshp ???? , 或者 (b) tvhqsvhp ???????? )1()(,)1()( ,此時 hqhp ?? , 都是大于 1?v 的，或者 (c) svhqthp ?????? )1()(, ,此時 hq? 大于 1?v .(a)和 (b)都表示)()( stpq ??? ， (c)表示2,....,2,1。否則為 0. 證明：對于環(huán)狀的施工方法，它可以驗證： 南通大學(xué)畢業(yè)論文 12 jqhqjhjphpjh dd dd1,11,1 ?????? ， （ 2） 此 時 ， 如 果 1??? vhu ， 那 么 它 將 被 替 換 為 )1( ??? vhu ，mjvppqvpvhpqu ,....,2,1。( ?vkvvD 由 k 個 1循環(huán)設(shè)計按列并置得到，可以看出，如果常數(shù) st? 對其每個 k 個 1循環(huán)組設(shè)計是穩(wěn)定的，那么 )1,。( ?vkvvD 表示 .這 kv/ 個初始區(qū)組 用 kv/,......,3,2,1 標(biāo)號 .在 v 級 處理組合中，假設(shè)所有初始區(qū)組是用同樣的方法構(gòu)造，則 v 可劃分為 kv/ 組 .假設(shè) id 表示 D 的第 i 列， 1,......,2,1 ?? vi .一般的二水平因子的表示符號為 E( 2S )， Fang et al.(2020)[15]引用 E( NODf )符號，定義如下： ???????? 11)2)(1(2)(vjiijN O DN O D fvvfE 此時， 21, 20 ))((?? ??vqpijpqijN O Dkvvvf， 并且在 D 的 2?v 子矩陣組成的 id 和 jd 列中， ijpqv 是對 (p,q)的頻數(shù) .在 Fang et al.(2020)[15]中證明了下面的結(jié)論： 221)(, 2)()1(2)2)(1(λ)(kv vkv vvv vvvfEvtsts stN O D ???????? ? ?? 222)()1(2)1()2)(1( )1( kv vkv vvv vkv vvv vv ???????? ??， （ 1） 其中 st? 是 D 中 s 行和 t 行之間的任意數(shù) .如果滿足下界 (1)，那么這個設(shè)計 )( NODfE 是最優(yōu)化 .下 界 被 滿 足 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 對 于 D 中 所 有 的 行 對 st? 是 一 個 實 數(shù) ， 此 時 等 價 于南通大學(xué)畢業(yè)論文 11 )}1({))(1( ??? vkvkvvv .對于多水平超飽和設(shè)計的其他一些最優(yōu)化符號參見文獻中的，如在 Xu 和 Wu(2020)[7].然而，對于多水平實驗關(guān)于具有相同數(shù)量水平的因子，它們中的大多數(shù)與符號 )( NODfE 是等價 .在下文中，通過優(yōu)化設(shè)計，即是指通過 )( NODfE 最優(yōu)化 k循環(huán)超飽和設(shè)計 D[11]. 2 構(gòu)造方法的解釋 ?k 循環(huán)設(shè)計的構(gòu)造是基于循環(huán)法，循環(huán)法是由 Plackett 和 Burman(1946)[5]提出的 .這個方法中的設(shè)計利用了生成列的循環(huán)，可以是一個大小為 v 的行向量或者一個大小為 1?v的列向量 .此 )1( ??vv 的設(shè)計是首次基于循環(huán)法構(gòu)造的，后來，對應(yīng)于第 v 行處理組合的最后一行是被添 加到里面的 .在第 v 行處理組合中，所有的因素產(chǎn)生于同一水平 .對于 k循環(huán)設(shè)計，生成列可以是一個大小為 )1(1 ??? vkv 的行向量或者每個大小 1?v 的 k 列向量 .Liu和 Dean(2020)[7]通過一個單個生成列構(gòu)造了 k循環(huán)設(shè)計 .根據(jù)這些列，使用循環(huán)方法，每個k 個生成列產(chǎn)生一個有 1?v 個因子的 1循環(huán)設(shè)計 .具有 )1(1 ??? vkv 因子的 k循環(huán)設(shè)計是通過列并置這 k 個 1循環(huán)設(shè)計得到的 .顯然， k循環(huán)設(shè)計的性質(zhì)是由這 k 個 1循環(huán)設(shè)計的性質(zhì)決定的 .因此，為了從這些 k循環(huán)設(shè)計中得到最優(yōu)設(shè)計，我們是通過列并置 k 個生成列計而不是并置單個生成列 .如前所訴，如果 st? 對于它的所有生成列是常數(shù)，那么此 1循環(huán)設(shè)計是最佳的 .令 )1,。, ii pp )γ,...,2,1( ?i 分別是 21,DD 的平行類 .若存在XX?:? 的一個雙射 ,并且滿足 ??ΒΒβ1 和 },...,{},...,{ 39。 而 RBIBDv ?)1,5,( 的存在性問題在國內(nèi)外多位學(xué)者的共同努力下，已接近完整解決 . 定理 5 ([9])當(dāng) )20(mod5?v 且 v?{45,345,465,645}時，存在 RBIBDv ?)1,5,( . 對一般的 k ， RayChaudhuri 和 Wilson[10]和 Lu 證明了 RBIBDkv ?),( λ 的“漸近存在性” . XI 定理 6 ([10])對給定的正整數(shù) k 和 ? ， 除了有限多個正整數(shù) v 外， RBIBDkv ?),( λ 存在的必 要條件 (2)也是充分的 . 定義 3 若 D=（ X， B）為 BIBDkkv ?? )1,( ，其中 ? }{1 ?? ?VZX ，令1)(1)(: ??????????????vZiiiiXX??? ，? 為 X 的映射， ?B B， },...,{ 21 kaaaB ? ； 令 ) } ,() , . . . ,(),({ 21 kaaaB ???? ? B ?? BB |{ ?? B} ，若 B?? B，則稱 ? 為 D 的一個自同構(gòu) .此時 BIBDkkv ?? )1,( 稱 為 Rotational BIBD. 進一步， B 在 ? 的作用下，產(chǎn)生軌道，軌道長度為 1?v .每個軌道中取一個代表，構(gòu)成 D 的一個基區(qū)組 .如果這個基區(qū)組構(gòu)成了 X 的一個劃分，即基區(qū)組是 D 的一個平行類，稱此平行類為 D的基平行類 .此時 )1,( ?kkv Rotational BIBD 是可分解的 .稱其為 )1,( ?kkv Rotational RBIBD. 本文提供了一個系統(tǒng)的構(gòu)造轉(zhuǎn)動可分解設(shè)計 的方法 .二級水平設(shè)計同樣包含于這個系統(tǒng)方法 .這個系統(tǒng)的方法是基于利用滿足某些特性的一系列初始區(qū)組的循環(huán)生成法的可分解的平衡不完全區(qū)組設(shè)計 (RBIBDs).有些 ?k 循環(huán)設(shè)計的其他可供選擇的方法同樣也包含于 Lu et al.(2020)[11]中 .然而，本文呈現(xiàn)最優(yōu) K循環(huán)超飽和設(shè)計的一個廣泛比較方法，其包含在有關(guān)計算機的基礎(chǔ)方法著作中或者在 Lu et al.(2020)中 .在實際中，超飽和設(shè)計對于因子篩選試驗很有幫助．現(xiàn)有的超飽和 設(shè)計的構(gòu)造方法主要是針對 二級 水平和 多級 水平情形的．但是實際中，混 和 水平超飽和設(shè)計有著更廣泛的用途 ，此不部分可做一項獨立研究，在此不做論述 . 參考文獻 ： [1]Liu M and Zhang et al. Construction of E(s2) optimal supersaturated designs using cyclic BIBDs[J]. J. Statist. Plann Inference, 2020, 91: 139–150. [2]Lu X and Hu et al. A systematic procedure in the construction of multilevel supersaturated design[J]. Inference, 2020, 115: 287–310. [3]Ngyuen N K. An algorithmic approach to constructing supersaturated designs[J]. Technometrics, 1996, 38: 69–73. [4]Hanani H. On resolvable balanced inplete block designs[J]. J. Combin