【正文】 60?v 的 Rotational RBIBD。介紹利用 Rotational RBIBD構(gòu)造最優(yōu) ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)，以及其在實(shí)際中的應(yīng)用 . 定義 1[1] 設(shè) X 為一個(gè)有限集， Β 為 X 的一個(gè)子集族 ,則稱(chēng)此序?qū)?),( ΒX 是集 X 上的一個(gè)區(qū)組設(shè)計(jì)， Β的元素稱(chēng)為區(qū)組 . 進(jìn)一步，設(shè) v 與 ? 為給定的正整數(shù)， k 是給定的正整數(shù)，若區(qū)組設(shè)計(jì) ),( ΒX 滿足： (i) vX? ； (ii)對(duì)任意 Β?B ，都有 kA? ； (iii)X 中任意一對(duì)不同的點(diǎn)都恰好同時(shí)包含在 ? 個(gè)區(qū)組中， 當(dāng) 2??kv 時(shí)，則稱(chēng)為平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，記為 BIBDkv ?),( λ . 易知， BIBDkv ?),( λ 的必要條件是??? ??? ??? )).1(( m od0)1( )),1( m od (0)1( kkvv kv?? （ 1） 當(dāng) 53 ??k 時(shí)，平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的存在性由 Hanani[14]在 1975 年證明 . 定理 1 ([2])設(shè) λ,kv 都是正整數(shù)，如果 53 ??k ，并且 kv? ，則除去 )2,5,15( 不存在外 , BIBDkv ?),( λ 存在的必要條件 (1)也是充分的 . 平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的存在性問(wèn)題是轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)理論中的一個(gè)基本問(wèn)題，條件 (1)是BIBDkv ?),( λ 存在的基本必要條件，不過(guò)這些條件并不是充分的 . Jr. (1967) 提出了下面這個(gè)著名的存在性猜想 . X 猜想 1 (存在性猜想 )給定正整數(shù) λ，k ，對(duì)滿足條件 (1)的正整數(shù) v ，除去有限個(gè)例外 , BIBDkv ?),( λ 都存在 . Wilson[3]對(duì)上訴存在性猜想給出了證明，有下述“漸進(jìn)存在性定理” . 定理 2 ([3])給定正整數(shù) k 和 ? ，存在常數(shù) ),(00 ?kvv ? ，使得當(dāng) 0vv? 時(shí)， BIBDkv ?),( λ 存在的必 要條件 (1)也是充分的 . 定義 2[4] 設(shè) ),( ΒX 是一區(qū)組設(shè)計(jì)， Β?p ，若 p 構(gòu)成 X 的一個(gè)劃分，則稱(chēng) p 為此設(shè)計(jì)的一個(gè)平行類(lèi) . 如果區(qū)組 Β 能被劃分成平行類(lèi)，則稱(chēng)此設(shè)計(jì)為可分解的 .如果一個(gè) RBIBDkv ?),( λ 是可分解 的 ,則稱(chēng)為可分解平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，記為 RBIBDkv ?),( λ . 易知， RBIBDkv ?),( λ 存在的必要條件為??? ??? ? )).1( m od (0)1( ),( m od0 kv kv? （ 2） 3?k 時(shí)， RBIBDkv ?),( λ 的存在性主要依賴于 2,1?λ 的情形 . )1,3(),( ?λk 的存在性問(wèn)題，也是歷史上著名的 Kirkman 女生問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一百多年的研究，于 1971 年由 RayChaudhuri 和 Wilson[5] 解決 .而 )2,3(),( ?λk 的情形由 Hanani[6]于 1974 年解決 . 定理 3 ([7])當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立時(shí)， RBIBDv ?),3,( λ 存在 . 1. )6(mod3?v ,且 )2(mod1?λ 。 2. )3(mod0?v ,且 )4(mod0?λ 。 3. )3(mod0?v , 6?v ,且 )4(mod2?λ . 4?k 時(shí) ， RBIBDv ?),4,( λ 的存在性主要依賴于 3?λ 的情形 .1972 年， Hanani 等解決了 1?λ時(shí)的情形，即 RBIBDv ?)1,4,( 的存在性 .Baker 解決了 (k,? )=(4,3)的情形，即 RBIBDv ?)3,4,( 的存在性 . 定理 4 ([8])當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立時(shí)， RBIBDv ?),4,( λ 存在 . 1. )12(mod4?v ,且 1,2(mod3)λ ? ； 2. )4(mod0?v ，且 0(mod3)λ? 。 而 RBIBDv ?)1,5,( 的存在性問(wèn)題在國(guó)內(nèi)外多位學(xué)者的共同努力下，已接近完整解決 . 定理 5 ([9])當(dāng) )20(mod5?v 且 v?{45,345,465,645}時(shí)，存在 RBIBDv ?)1,5,( . 對(duì)一般的 k ， RayChaudhuri 和 Wilson[10]和 Lu 證明了 RBIBDkv ?),( λ 的“漸近存在性” . XI 定理 6 ([10])對(duì)給定的正整數(shù) k 和 ? ， 除了有限多個(gè)正整數(shù) v 外， RBIBDkv ?),( λ 存在的必 要條件 (2)也是充分的 . 定義 3 若 D=（ X， B）為 BIBDkkv ?? )1,( ，其中 ? }{1 ?? ?VZX ，令1)(1)(: ??????????????vZiiiiXX??? ，? 為 X 的映射， ?B B， },...,{ 21 kaaaB ? ； 令 ) } ,() , . . . ,(),({ 21 kaaaB ???? ? B ?? BB |{ ?? B} ，若 B?? B，則稱(chēng) ? 為 D 的一個(gè)自同構(gòu) .此時(shí) BIBDkkv ?? )1,( 稱(chēng) 為 Rotational BIBD. 進(jìn)一步， B 在 ? 的作用下，產(chǎn)生軌道，軌道長(zhǎng)度為 1?v .每個(gè)軌道中取一個(gè)代表，構(gòu)成 D 的一個(gè)基區(qū)組 .如果這個(gè)基區(qū)組構(gòu)成了 X 的一個(gè)劃分，即基區(qū)組是 D 的一個(gè)平行類(lèi)，稱(chēng)此平行類(lèi)為 D的基平行類(lèi) .此時(shí) )1,( ?kkv Rotational BIBD 是可分解的 .稱(chēng)其為 )1,( ?kkv Rotational RBIBD. 本文提供了一個(gè)系統(tǒng)的構(gòu)造轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) 的方法 .二級(jí)水平設(shè)計(jì)同樣包含于這個(gè)系統(tǒng)方法 .這個(gè)系統(tǒng)的方法是基于利用滿足某些特性的一系列初始區(qū)組的循環(huán)生成法的可分解的平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì) (RBIBDs).有些 ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)的其他可供選擇的方法同樣也包含于 Lu et al.(2020)[11]中 .然而，本文呈現(xiàn)最優(yōu) K循環(huán)超飽和設(shè)計(jì)的一個(gè)廣泛比較方法，其包含在有關(guān)計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)方法著作中或者在 Lu et al.(2020)中 .在實(shí)際中，超飽和設(shè)計(jì)對(duì)于因子篩選試驗(yàn)很有幫助．現(xiàn)有的超飽和 設(shè)計(jì)的構(gòu)造方法主要是針對(duì) 二級(jí) 水平和 多級(jí) 水平情形的．但是實(shí)際中，混 和 水平超飽和設(shè)計(jì)有著更廣泛的用途 ，此不部分可做一項(xiàng)獨(dú)立研究，在此不做論述 . 參考文獻(xiàn) ： [1]Liu M and Zhang et al. 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Metrika, 2020, 58: 279–291. 二． 本課題的基本內(nèi)容，預(yù)計(jì)解決的難題 基本內(nèi)容：本課題將研究 不同 構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)可分 解 設(shè) 計(jì)的構(gòu)造及其 應(yīng)用 . 首先，理解設(shè)計(jì)、 BIBD、 RBIBD以及轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)（ Rotational RBIBD）的定義，以及不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)的 構(gòu)造方法 .可分解設(shè)計(jì)是組合數(shù)學(xué)中研究的經(jīng)典問(wèn)題 .具有特殊結(jié)構(gòu)的可分解設(shè)計(jì)密碼理論、統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)中有廣泛應(yīng)用 .如了解不同構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)能在統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的超飽和設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)最優(yōu)的 K循環(huán)的超飽和設(shè)計(jì) ，它廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)、軟件測(cè)試、醫(yī)藥、工業(yè)和生物工程試驗(yàn)領(lǐng)域 .其次了解轉(zhuǎn)動(dòng)可分解的定義 .本課題主要研究轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)（ Rotational RBIBD）的構(gòu)造，并討論它在超飽和設(shè)計(jì)的應(yīng)用 ,同時(shí)利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算 60?v 的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) . 預(yù)計(jì)解決的難題：對(duì)于此類(lèi)最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)未知結(jié)論的構(gòu)造，可能需要較長(zhǎng)時(shí)間的尋找，對(duì)于計(jì)算機(jī)運(yùn)算，需要時(shí)間的調(diào)整 . 三、 課題的研究方法、技術(shù)路線 研究方法： ； 長(zhǎng)及老師請(qǐng)教； 3. 網(wǎng)上搜集資料； . 技術(shù)路線： (1) 閱讀與轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) 的構(gòu)造 問(wèn)題有關(guān)的文獻(xiàn)； (2) 正確理解轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) 的構(gòu)造 含義 ,了解它和組合設(shè)計(jì)的關(guān)系； (3) 研究轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì) 的構(gòu)造 方法 ,以及理解通過(guò)不同構(gòu) 的轉(zhuǎn)動(dòng)可分解設(shè)計(jì)構(gòu)造 最優(yōu) ?k 循環(huán)設(shè)計(jì)，并 且論述其在實(shí)際中的 具體應(yīng)用 . XIII (4)通過(guò)使用計(jì)算機(jī)程序，求出一類(lèi) Rotational RBIBD 的最優(yōu)解 . 四、研究工作條件和基礎(chǔ) 本課題的 指導(dǎo)者近年來(lái)主要從事組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的研究 ,主持一項(xiàng)有關(guān)組合理論及其應(yīng)用的國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目的研究 ,一項(xiàng)南通市科技創(chuàng)新項(xiàng)目的研究．對(duì)組合設(shè)計(jì)理論的前沿狀況比較了解 ,有多年指導(dǎo)本科生畢業(yè)論文的經(jīng)驗(yàn) ,已在國(guó)內(nèi)外核心期刊上發(fā)表相關(guān)論文 30 多篇；同時(shí)該課題也是國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目所要研究的部分內(nèi)容，該生有較好的組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和刻苦鉆研精神；學(xué)校圖書(shū)館和校園網(wǎng)有比較豐富的圖書(shū)資料 ,同時(shí)指導(dǎo)老師能為學(xué)生提供相關(guān)的外文資料．綜上所述 ,已基本具備完成本課題研究的基礎(chǔ)條件 .. 五、進(jìn)度計(jì)劃 起訖日期 工作內(nèi)容 1 月 10 日－ 2 月 28 日 選題，查閱文獻(xiàn)資料 3 月 1 日－ 3 月 5 日 開(kāi)題報(bào)告 3 月 6 日－ 3 月 19 日 根據(jù)開(kāi)題報(bào)告情況繼續(xù)查閱文獻(xiàn)資料，搜集數(shù)