高考理科數(shù)學軌跡和軌跡方程復習資料-在線瀏覽
2024-10-23 14:43本頁面
【正文】 0 ) ， O 為頂點 ， A ， B 為拋物線上的兩動點 ， 且滿足 OA ⊥ OB ， 如果 OM ⊥AB 于 M 點 ， 求點 M 的軌跡方程 ． 25 解： 直線 AB 斜率存在時，設(shè) M ( x0， y0) ，直線AB 的方程為 y ＝ kx ＋ b . 由 OM ⊥ AB ，得 k ＝－x0y0， 由 y2＝ 4 px ，及 y ＝ kx ＋ b ，消去 y ， 得 k2x2＋ x ( 2 kb － 4 p ) ＋ b2＝ 0 ，所以 x1x2＝b2k2 . 消去 x ，得 ky2－ 4 py ＋ 4 pb ＝ 0 ，所以 y1y2＝4 pbk. 26 由 OA ⊥ OB ，得 y1y2＝－ x1x2， 所以4 pbk＝－b2k2 ， b ＝－ 4 kp ， 故 y0＝ kx0＋ b ＝ k ( x0－ 4 p ) ． 把 k ＝－x0y0代入，得 x20＋ y20－ 4 px0＝ 0 ( x0≠ 0 ) ， AB ⊥ x 軸時， M ( 4 p , 0 ) 也符合 x2＋ y2－ 4 px ＝0 ( x ≠ 0 ) ， 即點 M 的軌跡方程為 x2＋ y2－ 4 px ＝ 0 ( x ≠ 0 ) ． 27 點評： 在一些很難找到形成曲線的動點 P ( x ，y ) 的坐標 x ， y 所滿足的關(guān)系式的情況下，往往借助第三個變量 t，建立 t 和 x ， t 和 y 的關(guān)系式 x ＝ φ ( t ) ，y ＝ φ ( t ) ，再通過一些條件消掉 t 就間接找到了 x 和y 所滿足的方程，從而求出動點 P ( x ， y ) 所形成的曲線的普通方程 ． 28 ? 求經(jīng)過定點 A(1， 2)， 以 x軸為準線 ，離心率為 的橢圓下方的頂點的軌跡方程 . ? 解： 設(shè)橢圓下方的焦點為 F(x0， y0)， ? 由定義知 所以 |AF|=1， ? 故點 F的軌跡方程為 (x01)2+(y02)2=1. ? 又設(shè)橢圓下方頂點為 P(x,y),則 x0=x,y0= y, ? 所以點 P的軌跡方程是 (x1)2+( y2)2=1. | | 1 ,22AF ?323229 ? 2. 如右圖 ,P是拋物線 C： ? 上一點，直線 l過點 P ? 且與拋物線 C交于另一點 Q. ? 若直線 l與過點 P的切線垂直， ? 求線段 PQ的中點 M的軌跡方程 . ? 解： 設(shè) P(x1,y1)、 Q(x2,y2)、 M(x0,y0)， ? 依題意知 x1≠0， y10， y20. ? 由 ①由①得 y′=x, 題型 4 參數(shù)法求軌跡方程 212yx?212yx?30 ? 所以過點 P的切線的斜率 k切 =x1. ? 所以直線 l的斜率 ? 所以直線 l的方程為 ② ? 方法 1：聯(lián)立①②消去 y，得 ? 因為 M為 PQ的中點， ? 所以 111lk kx??切211111 ( ) .2y x x xx?12212 2 0 .x x xx??120120 1 0 1112,11 ( )2xxxxy x x xx???????? ???31 ? 消去 x1，得 ? 所以 PQ的中點 M的軌跡方程為 ? 方法 2：由 ? 得 ? 則 所以 ? 將上式代入②式并整理，得 ? 所以 PQ的中點 M的軌跡方程為 20 0 0201 1 ( 0 )2y x xx? ? ? ? ，221 1 ( 0 ) .2y x xx? ? ? ?2 121 1 2 022112 2 2xxy x y xx?? ? ?， ， ，221 2 1 2 1 2 1 2 0 1 21 1 1 ( ) ( ) ( )2 2 2y y x x x x x x x x x? ? ? ?1201 2 1 1 lyyxkx x x? ? ? ，1 0x?20 0 0201 1 ( 0 )2y x xx? ? ? ? ，221 1 ( 0 ) .2y x xx? ? ? ?32 ? 點評：
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