【正文】 1中， M為 △ A1BD的重心，求證： A、M、 C1三點共線 . 證明： 如右上圖 ,連結 A1M并延長交 BD于 E點 . 題型 共線問題的判定與證明 26 ? 因為 M為△ A1BD的重心， ? 所以 E為 BD的中點，連結 AE. ? 所以 ? 故向量 AM與 AC1共線，即 A、 M、 C1三點共線 . A M A E E M??11123( A B A D ) E A? ? ?111( ) ( )23A B A D A A A E? ? ?11 1 1 1( ) ( )2 3 3 2A B A D A A A B A D? ? ? ?1111( ) .33A B A D A A A C? ? ? ?27 ? 2. 求證：平行六面體的四條對角線相交 ? 于一點，并且在交點處互相平分 . ? 證明： 在平行六面體 ABCDA1B1C1D1 ? 中，設 O、 P、 M、 N ? 分別是對角線 AC ? BD A1C、 B1D的中點， 題型 共點問題的判定與證明 28 ? 則 ? 同理可證， ? 所以 O、 P、 M、 N四點重合 . ? 故四條對角線相交于一點， ? 且在交點處互相平分 . 1111 ( ) ,22A O A C A B A D A A? ? ? ?1111 ()22A P A B B P A B B D A B B A B C B B? ? ? ? ? ? ? ?11 ( )2A B A B A D A A? ? ? ? 11 ( ) .2 AB AD AA? ? ?11 ( ) .2A M A N A B A D A A? ? ? ?29 ? 1. 空間向量是平面向量的推廣 ， 空間向量的加法 、 減法和數(shù)乘向量運算 ， 與平面向量的運算法則一致 . ? 2. 空間任意兩個向量都可用同一平面內的兩條有向線段表示 ， 因此 ， 空間兩個向量的加法與減法運算 ， 實質上是兩個平面向量的加法與減法運算 . 30 ? 3. 空間共線向量與平面共線向量的概念是相通的 ， 共線向量定理也完全一致 .空間共面向量定理是平面向量基本定理的變通 .空間向量基本定理是平面向量基本定理的擴展 .這些定理源于平面向量的加法 、 減法與數(shù)乘向量運算 ， 是溝通向量之間內在聯(lián)系的重要依據(jù) . 31 ? 4. 空間直線的向量參數(shù)表示式： 是一個以向量形式表示的直線方程，直線 l上的點 P和實數(shù) t之間是一一對應的關系 .若取a= ，則向量式 表示 P、 A、B三點共線 . ? 5. 向量的基底表示是向量運算的一個重點 .利用三角形法則和平行四邊形法則，將一個向量分解成兩個向量的和或差，經(jīng)過若干次分解，就能得出向量的基底表示 . OP OA t a??AB O P O A t AB??32 第九章 直線、平面、簡單幾何體 第 講 （第一課時） 33 考點 搜索 ●空間直角坐標系的有關概念，空間向量的坐標 ●空間向量的坐標運算公式，空間兩點間的距離公式 ●直線的方向向量，平面的法向量高考 高考 猜想 1. 利用空間向量判斷或證明線面平行、垂直 . 2. 利用空間向量的坐標運算求空間角和距離 . 34 ? 1. 如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直 ， 且長都為 1， 則這個基底叫做_____________， 常用 {i， j， k}來表示 . ? 2. 在空間選定一點 O和一個單位正交基底{i， j， k}， 以 O為原點 ， 分別以 i、 j、 k的方向為正方向建立三條數(shù)軸： x軸 、 y軸 、z軸 ， 它們都叫做 ________， 點 O叫做原點 ， 向量 i、 j、 k都叫做 __________， 單位正交基底 坐標軸 坐標向量 35 ? 通過每兩個坐標軸的平面叫做 _________ ,分 別稱為 xOy平面、 yOz平面、 zOx平面 . ? 3. 在空間直角坐標系中，記右手拇指指向_____的正方向，食指指向 _____的正方向，如果中指能指向 _____的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系 . ? 4. 在空間直角坐標系 Oxyz中 ,對空間任一向量 a,滿足 a=a1i+a2j+a3k的有序實數(shù)組(a1,a2,a3)叫做 a的坐標 ,簡記為 a=_________. 坐標平面 x軸 y軸 z軸 (a1,a2,a3) 36 ? 5. 在空間直角坐標系 Oxyz中，對空間任一 ? 向量 a，滿足 a=xi+yj+zk的有序實數(shù)組 (x,y,z) ? 叫做點 A的坐標，記作 _________,其中 x,y,z ? 分別叫做點 A的 _______________________. ? 6. 設 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則 A(x,y,z) 橫坐標、縱坐標、豎坐標 37 ? a+b=________________。 ? λa=______________(λ∈ R)。b= ____________。 ? a⊥ b ______________________. a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 ??(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1b1,a2b2,a3b3) (λa1,λa2,λa3) 38 ? 7. 設 a=(a1， a2， a3)， b=(b1， b2， b3)， ? 則 cos〈 a， b〉 = _________________. ? 8. 設 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， ? 則 dAB= = ___________________. ? 9. 如果表示向量 a的有向線段所在直線垂 ? 直于平面 α，即 a⊥ α，那么向量 a叫做 ? 平面 α的 _______. AB1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a b a b a ba a a b b b??? ? ? ? ?2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )x x y y z z??法向量 39 ? ? a=(1， 1， 0)， b=(1， 0， 2)， ? 且 ka+b與 2ab互相垂直，則 k的值是 ( ) ? A. 1