高考理科數(shù)學(xué)空間向量及其運(yùn)算復(fù)習(xí)資料-閱讀頁
2024-09-09 14:44本頁面
【正文】 B. C. D. ? 解： ka+b=k(1， 1， 0)+(1， 0， 2)=(k1， k， 2)， ? 2ab=2(1， 1， 0)(1， 0， 2)=(3， 2， 2). ? 因?yàn)閮上蛄看怪保? ? 所以 3(k1)+2k2 2=0，解得 k= D 7515753540 ? ， ? 已知點(diǎn) A(1， 0， 2)， ? B(1， 3， 1)，點(diǎn) M在 y軸上， ? 且 M到 A與到 B的距離相等， ? 則 M的坐標(biāo)是 ________ ? 解： 設(shè) M(0,y,0). ? 由 12+y2+4=1+(3y)2+1,可得 y=1, ? 故 M(0,1,0). (0,1,0). 41 3. 已知空間三點(diǎn) A(1， 1， 1)、 B(1， 0， 4)、C(2， 2， 3)，則 與 的夾角 θ的大小是 . 解： =(2， 1， 3)， =(1， 3， 2)， 所以 θ=〈 ， 〉 =120176。 ? (2)在平面 PAD內(nèi)求一 ? 點(diǎn) F，使 EF⊥ 平面 PCB. 33DP AE45 ? 解： (1)以點(diǎn) D為原點(diǎn)，以 DA、 DC、 DP所在直線分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2， 0). ? 設(shè) E(1， 1， m). ? 所以 =(1， 1， m) ? =(0， 0， 2m). ? 所以 cos〈 ， 〉 ? = 解得 m=1. ? 所以點(diǎn) E的坐標(biāo)是 (1， 1， 1). AEDPAEDP222331 1 2mmm?? ? ?46 ? (2)因?yàn)?F∈ 平面 PAD，所以可設(shè) F(x， 0， z)， ? 則 =(x1， 1， z1). ? 因?yàn)?EF⊥ 平面 PCB， ? 所以 . ? 由 (x1， 1， z1) ? 由 (x1， 1， z1)DA1→＝ 0 ，且 n n ＝ (12， 0 ，12) DA1→＝ 0 ，且 n n ＝ (12， 0 ，12) AC=1， CB=2，側(cè)棱 AA1=1，側(cè)面 AA1B1B的兩條對角線的交點(diǎn)為 D， ? B1C1的中點(diǎn)為 M. ? 求證： CD⊥ 平面 BDM. ? 證明： 如圖建立直角坐標(biāo)系， ? 則 B( ， 0， 0)， B1( ， 1， 0)， ? A1(0， 1， 1)， D( ， ， )， ? M( ， 1， 0). 題型 3 垂直問題的判定與證明 2 22212122256 ? 所以 =( ， ， )， =( ， 1， 1)， ? =(0， ， ). ? 于是有 ? ? 所以 CD⊥ A1B，且 CD⊥ DM. ? 因?yàn)?A1B和 DM為平面 BDM內(nèi)兩條相交直線， ? 所以 CD⊥ 平面 BDM. 1212022C D A B? ? ? ? ?2212CD 12 1AB 2DM 1212210 4 024CD D M? ? ? ? ? ?57 ? 點(diǎn)評(píng)： 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證空間兩直線垂直問題的一般步驟是：先建立空間直角坐標(biāo)系 ， 然后寫出 (或求出 )關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo) ， 再計(jì)算出直線所對應(yīng)向量的坐標(biāo) ， 最后計(jì)算其數(shù)量積 ， 并判斷是否為零 . 58 ? 如圖所示，已知在矩形 ABCD中， ? AB=1， BC=a(a0)， PA⊥ 平面 ABCD， ? 且 PA=1. ? (1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， ? 并寫出點(diǎn) P、 B、 D的坐標(biāo)； ? (2)問當(dāng)實(shí)數(shù) a在什么范圍 ? 時(shí)， BC邊上能存在點(diǎn) Q， ? 使得 PQ⊥ QD？ 59 ? 解： (1)以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB、 AD、 AP ? 所在直線分別為 x、 y、 z軸建立坐標(biāo)系， ? 如圖所示 . ? 因?yàn)?PA=AB=1， BC=a， ? 所以 P(0， 0， 1)， B(1， 0， ? 0)， D(0， a， 0). ? (2)設(shè)點(diǎn) Q(1， x， 0)， ? 則 =(1,xa,0), =(1,x,1). DQ QP60 ? 由 =0，得 x2ax+1=0. ? 顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí)， ? BC邊上才存在點(diǎn) Q， ? 使得 PQ⊥ QD，故 Δ=a24 ≥ 0. ? 因?yàn)?a0，故 a的取值范圍為［ 2,+∞). 反之， x＜ 確定點(diǎn) P的縱坐標(biāo) y和豎坐標(biāo) z. OA| x | | O A |?62 ? 3. 在空間直角坐標(biāo)系中 ， 求點(diǎn)的坐標(biāo)主要有三種方法：一是幾何法 ， 即通過點(diǎn)P到三個(gè)坐標(biāo)平面的距離來確定點(diǎn) P的坐標(biāo)；二是待定系數(shù)法 ， 即首先設(shè)出點(diǎn) P的坐標(biāo) ， 再結(jié)合條件建立方程組求待定系數(shù)的值 ， 進(jìn)而得到點(diǎn) P的坐標(biāo)；三是向量運(yùn)算法 ， 即把求點(diǎn) P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求向量 的坐標(biāo) . OP63 ? 4. 若點(diǎn) P在直線 AB上，設(shè) (λ ≠1)，A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， ? 則利用待定系數(shù)法可得點(diǎn) P的坐標(biāo)為( ， ， )，這就是空間有向線段定比分點(diǎn)公式，可用來求點(diǎn)的坐標(biāo) . AP λ PB?121x λxλ??121y λyλ??121z λzλ??64 ? 5. 在空間圖形中 ， 若有三條兩兩互相垂直的直線 ， 或有一條直線垂直于一個(gè)平面 ，則可考慮利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解題 ，因?yàn)檫@種背景圖形便于建立空間直角坐標(biāo)系 .判斷線線平行或諸點(diǎn)共線 ， 轉(zhuǎn)化為證a∥ b (b≠0) a=λb；證明線線垂直 ， 轉(zhuǎn)化為證 a⊥ b a18
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