高考理科數(shù)學(xué)拋物線(xiàn)復(fù)習(xí)資料-閱讀頁(yè)
2024-09-18 08:56本頁(yè)面
【正文】 x1≠ x2，所以y2－ y1x2－ x1＝2 py1＋ y2. 所以直線(xiàn) AB 的方程為 y － y1＝2 py1＋ y2( x － x1) ＝2 py1＋ y2( x －y212 p) ， 46 所以 y ＝2 py1＋ y2x －y21y1＋ y2＋ y1 ＝2 py1＋ y2x ＋y1y2y1＋ y2 ＝2 py1＋ y2x －4 p2y1＋ y2 ＝2 py1＋ y2( x － 2 p ) ． 所以直線(xiàn) AB 過(guò)定點(diǎn) ( 2 p , 0 ) ． 47 ? 1. 過(guò)拋物線(xiàn) y2=4x的焦點(diǎn) F作直線(xiàn) l交拋物線(xiàn)于 A、B兩點(diǎn)，設(shè) 若 λ∈ ［ 4， 9］，求直線(xiàn) l在 y軸上的截距的取值范圍 . ? 解： 設(shè)點(diǎn) A(x1， y1)， B(x2， y2). ? 由已知得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為 F(1， 0). ? 因?yàn)? 所以 (x21,y2)=λ(1x1,y1). ? ① ? 所以 ? ② . 由②得 y22=λ2y12. 參考題,FB AF??,FB AF??2121 1 (1 ) xxyy????? ??48 ? 又因?yàn)?y12=4x1， y22=4x2， ? 所以 x2=λ2x1.③ ? 聯(lián)立①③解得 x2=λ，依題意有 λ0， ? 所以 B(λ， 2 )或 B(λ， 2 ). ? 所以直線(xiàn) l的方程為 ? (λ1)y=2 (x1)或 (λ1)y＝ 2 (x1). ? 從而直線(xiàn) l在 y軸上的截距為 或 ? 因?yàn)楫?dāng) λ∈ ［ 4,9］時(shí) , 是減函數(shù)， ? ???21b???21b????2211b?? ????49 ? 故當(dāng) λ=4時(shí) ,b= ；當(dāng) λ=9時(shí) ,b= . ? 所以 b∈ ［ ， ］ . ? 同理可得 ,當(dāng) 時(shí) ,有 b∈ ［ , ］ . ? 故直線(xiàn) l在 y軸上的截距的取值范圍是 ? ［ ， ］ ∪ ［ ， ］ . 43344334433443433421b???3450 ? xay2=0與拋物線(xiàn) y2=2x相交于相異兩點(diǎn) A、 B，以線(xiàn)段 AB為直徑作圓 M. ? (1)證明：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在圓 M的圓周上； ? (2)求當(dāng) a為何值時(shí)，圓 M的面積最小 . ? 解： (1)證明：由 ? 可得 y22ay4=0. ? 設(shè)點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2), ? 則 y1+y2=2a,y1y2=4, ? 從而 2 2 0,2x a yyx??? ??2 2 21 2 1 212() 4,2 2 4y y y yxx ? ? ? ?51 ? 所以 x1x2+y1y2=0， ? 即 所以 ? 故點(diǎn) O在圓 M上 . ? (2)因?yàn)?x1+x2=a(y1+y2)+4=2a2+4. ? 又 M是線(xiàn)段 AB的中點(diǎn)， ? 所以點(diǎn) M(a2+2， a). ? 所以 ? 當(dāng)且僅當(dāng) a=0時(shí)取等號(hào) , ? 故當(dāng) a=0時(shí) ,圓 M的面積最小 . 0,O A O B?? ,OA OB?2 2 2 4 2| | ( 2 ) 5 4 2 .O M a a a a? ? ? ? ? ? ?52 ? 1. 拋物線(xiàn)的定義反映了拋物線(xiàn)的本質(zhì) ，靈活利用定義往往可以化繁為簡(jiǎn) ， 化難為易 ， 且思路清晰 ， 解法簡(jiǎn)捷 .巧妙的解法常常來(lái)源于對(duì)定義的恰當(dāng)運(yùn)用 ，要很好地體會(huì) . 53 ? 2. 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì) ， 要與橢圓 、 雙曲線(xiàn)加以對(duì)照 ， 但由于拋物線(xiàn)的離心率為1， 所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì) ， 而且應(yīng)用廣泛 .例如：已知拋物線(xiàn) y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 A、 B兩點(diǎn) ， 設(shè) A(x1， y1)、B(x2 ， y2) ， 則有 |AB|=x1+x2+p 或 (α為直線(xiàn) AB的傾斜角 )， y1y2=p2，x1x2= 等 . 2| | sinpAB??24
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