【正文】 義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點(diǎn)．學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和直線的關(guān)系問題有目的地轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問題，這是這節(jié)課的難點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)． 、判定定理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象、計(jì)算能力，并且加強(qiáng)對思維能力的訓(xùn)練．，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)，并通過圖形的立體美，對稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識．任務(wù)分析因?yàn)榕卸ǘɡ淼淖C明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理．又因?yàn)槎ɡ淼恼撟C層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識多，所以這節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理的證明．突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點(diǎn)上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問題．二、建立模型我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個(gè)位置，就可能與固定的直線沒有公共點(diǎn)，這時(shí)兩條直線不會相交，也不會在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了．［問 題］？教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個(gè)平面．（2）如果一條直線（AB）和一個(gè)平面（α）相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個(gè)平面叫作直線的垂面．交點(diǎn)叫作垂足．垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段．垂線段的長度叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的距離．，直線l⊥平面α，直線mα，問l與m的關(guān)系怎樣．學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時(shí)，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖182．？教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？學(xué)生討論后，教師總結(jié)．（1）因?yàn)閮蓷l相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面． 如圖183，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．定理 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖184，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．求證：l∥m．證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過直線m與平面α的交點(diǎn)B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因?yàn)橹本€m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］．已知：平面α和一點(diǎn)P（如圖185）．求證：過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點(diǎn)P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過點(diǎn)P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條． ，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因?yàn)锳B＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90176。b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．通過實(shí)例理解ac與a＝c的關(guān)系，ab）c＝a（bb＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，ab是非零向量，則a⊥b（3）ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a求ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝54cos120176。ｂ．（2）a在b上的投影．：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60176。．：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）aa（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．（2）（λa）b）＝ab＝（λa）b）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b）；當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）b＝0＝λ（ab＝λ（a（λb）＝λ（ac＝ac（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝cb，∴（a＋b）c＋bb）c＝a（bb＝cb＋b2，（a＋b）（a＋b）＝ ab＋bb＝ a2＋2a（a－b）＝ab＋bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。（a－3b）． 解：（a＋2b）b＋2b－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）． 22因此，當(dāng)k＝177。b＋2ac＝1＋1＋2＋211cos90176。（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸＋b的幾何意義嗎？ 如圖403，ab＝c2，∴2｜a｜． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。＝問：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？解：由同理⊥即＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．兩角和與差的余弦教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識的能力．，體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．、求值和恒等式證明．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺主動地學(xué)習(xí)．教學(xué)過程一、問題情景我們已經(jīng)學(xué)過誘導(dǎo)公式，如可以這樣來認(rèn)識以上公式：把角α轉(zhuǎn)動，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問題：右圖411是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢比A點(diǎn)高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點(diǎn)B離開水平線AD的高度BE？由圖可知BE＝asin（α＋β）．我們的問題是：如何用α和β的三角函數(shù)來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們在研究三角函數(shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α177。β＝