高教版中職數(shù)學拓展模塊21橢圓2-展示頁
2024-11-29 15:26本頁面
【正文】 標準方程 x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) x2b2 ＋y2a2 ＝ 1( a b 0 ) 圖形 焦點 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 焦距 | F1F2|＝ 2 c ( c ＝a2－ b2) | F1F2|＝ 2 c ( c ＝a2－ b2) 范圍 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 對稱性 關于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 對稱 頂點 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 軸 長軸長 _ _ _ _ _ ，短軸長 _ _ _ _ _ 性質(zhì) 離心率 e ＝ _ _ _ _ _ ( 0 e 1 ) F1(－ c,0)， F2(c,0) F1(0，－ c)， F2(0， c) |x|≤a， |y|≤b |x|≤b， |y|≤a x軸、 y軸和原點 (177。 a,0)， (0， 177。 a)， (177。 ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ， ∴ | BF 1 | ＝ c ，| BF 2 | ＝ 3 c ， 由橢囿定義得 | BF 1 | ＋ | BF 2 | ＝ 2 a ， 即 c ＋ 3 c ＝ 2 a ， ∴ca＝ 3 － 1. ∴ 橢囿的離心率 e ＝ 3 － 1. 變式訓練 3（ 1） 如圖 ， 已知 F1為橢圓的左焦點 ， A， B為橢圓的兩個頂點 ， P為橢圓上的點 ， 當 PF1⊥ F1A， PO∥ AB(O為中點 )時 ，則橢圓的離心率為 ________． 解 ： 由已知設橢囿方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，焦點為 F 1 ( － c, 0) ． ∵ PF 1 ⊥ F 1 A ， ∴ 點 P 的坐標為 ( － c ，b2a) ． ∵ AB ∥ PO ， ∴ k AB ＝ k OP ，即－ba＝－b2ac， ∴ b ＝ c ， ∴ a2＝ 2 c2， ∴ e ＝ca＝22. （ 2 ） 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 解 ： 由題意得 4 b ＝ 2 a ＋ 2 c ， ∴ 2 b ＝ a ＋ c ，即 4 b2＝a2＋ 2 ac ＋ c2， 又 ∵ b2＝ a2－ c2， ∴ 5 c2＋ 2 ac － 3 a2＝ 0 ， ∴ 5 e2＋ 2 e － 3 ＝ 0 ， ∵ 0 e 1 ， ∴ e ＝35. 例 4已知 F F2是橢圓的兩個焦點 ， P為橢圓上一點 ， ∠ F1PF2＝ 60176。 ＝| PF1|2＋ | PF2|2－ | F1F2|22| PF1| | PF2| － | F1F2|22| PF1| | PF2| ＝ 4 a2－ 2| PF1| | PF2| ＝ 4 b2， ∴ | PF1| | PF2|≤??????| PF1| ＋ | PF2|22＝ a2， ∴ 3 a2≥ 4( a2－ c2) ， ∴ca≥12， ∴ e ≥12. 又 ∵ 橢囿中 0 e 1 ， ∴ 所求橢囿的離心率的取值范圍是12≤ e 1 . 變式訓練 4 、 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的左、右焦點分別為 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ，若橢圓上存在一點 P 使as i n ∠ PF1F2＝cs i n ∠ PF2F1，求該橢圓的離心率的取值范圍． 解 ： 在 △ PF1F2中，由正弦定理得| PF2|s i n ∠ PF1F2＝| PF1|s i n ∠ PF2F1，則結(jié)合已知，得a| PF2|＝c| PF1|，即 | PF1| ＝ca| PF2|. 由橢囿的定義知 | PF1|＋ | PF2| ＝ 2 a ，則ca| PF2| ＋ | PF2| ＝ 2 a ，即 | PF2| ＝2 a2c ＋ a，由橢囿的幾何性質(zhì)和已知條件知 | PF2| ＜ a ＋ c ，則2 a2c ＋ a＜ a ＋ c ，即 c2＋ 2 ac －a2＞ 0 ，所以 e2＋ 2 e － 1 ＞ 0 ，解得 e ＜－ 2 － 1 或 e ＞ 2 － 1. 又 e∈ ( 0 , 1 ) ，故橢囿的離心率 e ∈ ( 2 － 1 , 1 ) ． 1 、 點與橢圓的位置關系 點 P ( x0， y0) 與橢圓x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) 的位置關系： 點 P 在橢圓上 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 點 P 在橢圓內(nèi)部 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 點 P 在橢圓外部 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x
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