高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊21橢圓2-免費閱讀
【正文】 ( 1 6 n2－ 4 8 ) 0 ， ∴ －132 n 132. 設(shè) P ( x1， y1) 、 Q ( x2， y2) ，則 x1＋ x2＝8 n13， y1＋ y2＝－14( x1＋ x2) ＋2 n ＝2413n ， ∴12 n13＝ 4 179。 6 2 ＝ 3 10 . 所以線段 AB 的長度為 3 10 . ( 2 ) 法一 ：設(shè) l 的斜率為 k ，則其方程為 y － 2 ＝ k ( x － 4) ． 聯(lián)立????? x236＋y29＝ 1 ，y － 2 ＝ k ? x － 4 ? ，消去 y 得 (1 ＋ 4 k2) x2－ ( 3 2 k2－ 16 k ) x ＋ ( 6 4 k2－64 k － 2 0 ) ＝ 0. 若設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 x1＋ x2＝32 k2－ 16 k1 ＋ 4 k2， 由于 AB 的中點恰好為 P ( 4 , 2 ) ，所以x1＋ x22＝16 k2－ 8 k1 ＋ 4 k2＝ 4 ，解得 k ＝－12. 這時直線 l 的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ，即 y ＝－12x ＋ 4. 法二： 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則有??????? x2136＋y219＝ 1 ，x2236＋y229＝ 1 ， 兩式相減得x22－ x2136＋y22－ y219＝ 0. 由于 P ( 4 , 2 ) 是 AB 的中點， ∴ x1＋ x2＝ 8 ， y1＋ y2＝ 4 ， 從而 ( x2－ x1) ＋ 2( y2－ y1) ＝ 0 ， kAB＝y(tǒng)2－ y1x2－ x1＝－12，于是直線 AB ，即為 l 的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ，即 y ＝－12x ＋ 4 . 變式訓(xùn)練 2 、 過點 P ( － 1, 1) 的直線與橢圓x24＋y22＝ 1 交于 A ， B 兩點，若線段 AB 的中點恰為點 P ，求 AB 所在的直線方程及弦長 | AB |. 解 ： 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由于 A ， B 兩點在橢囿上， ∴ x21＋ 2 y21＝4 ， x22＋ 2 y22＝ 4. 兩式相減，得 ( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ 2( y1－ y2)( y1＋ y2) ＝ 0 ① 顯然 x1≠ x2，故由 ① 得： kAB＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝－x1＋ x22 ? y1＋ y2?. ② 又點 P ( －1,1) 是弦 AB 的中點， ∴ x1＋ x2＝－ 2 ， y1＋ y2＝ 2. ③ 把 ③ 代入 ② 得： kAB＝12， ∴ 直線 AB 的方程為 y － 1 ＝12( x ＋ 1) ，即 x －2 y ＋ 3 ＝ 0 由??????? x － 2 y ＋ 3 ＝ 0 ，x24＋y22＝ 1 ，消去 y 得 3 x2＋ 6 x ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ x1＋ x2＝－ 2 ， x1x2＝13， | AB | ＝ 1 ＋ k2 | PF2| ＝ 4 a2－ 2| PF1| a)， (177。 b,0) 2a 2b ca 如圖所示，在 Rt △ BF 2 O 中， c o s ∠ BF 2 O ＝ca，記 e ＝ca則 0 e 1 ， e 越大， ∠ BF 2 O 越小，橢圓越扁； e 越小， ∠ BF 2 O 越大，橢圓越圓． 題型一 、 橢圓的幾何性質(zhì) 例 1 、 求橢圓 9 x2＋ 16 y2＝ 144 的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)． 解 ： 把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程x216＋y29＝ 1 ， 于是a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 16 － 9 ＝ 7 ， ∴ 橢圓的長軸長和短軸長分別是 2 a ＝ 8 和 2 b ＝ 6 ，離心率 e＝ca＝74， 兩個焦點坐標(biāo)分別是 ( － 7 ， 0) ，( 7 ， 0) ， 四個頂點坐標(biāo)分別是 ( － 4,0) ， (4,0) ， (0 ，－ 3) ，(0,3) ． 變式訓(xùn)練 求橢圓 25x2＋ 16y2＝ 400的長軸長 、 短軸長 、 離心率 、 焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo) ． 解 ： 將方程變形為y225＋x216＝ 1 ，得 a ＝ 5 ， b ＝ 4 ，所以 c ＝ 3 ，故橢囿的長軸和短軸的長分別為 2 a ＝ 1 0 , 2 b ＝ 8 ，離心率 e ＝ca＝35，焦點坐標(biāo) F1(0 ，－ 3) ， F2( 0 , 3 ) ，頂點坐標(biāo)為 A1(0 ，－ 5) ， A2( 0 , 5 ) ，B1( － 4 ， 0) ， B2( 4 , 0 ) ． 題型二 、 利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 、 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1) 橢圓過點 (3,0) ，離心
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