高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊21橢圓2-wenkub
2022-11-28 15:26:45 本頁面
【正文】 _． 解 ： 由已知設(shè)橢囿方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，焦點為 F 1 ( － c, 0) ． ∵ PF 1 ⊥ F 1 A ， ∴ 點 P 的坐標(biāo)為 ( － c ，b2a) ． ∵ AB ∥ PO ， ∴ k AB ＝ k OP ，即－ba＝－b2ac， ∴ b ＝ c ， ∴ a2＝ 2 c2， ∴ e ＝ca＝22. （ 2 ） 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 解 ： 由題意得 4 b ＝ 2 a ＋ 2 c ， ∴ 2 b ＝ a ＋ c ，即 4 b2＝a2＋ 2 ac ＋ c2， 又 ∵ b2＝ a2－ c2， ∴ 5 c2＋ 2 ac － 3 a2＝ 0 ， ∴ 5 e2＋ 2 e － 3 ＝ 0 ， ∵ 0 e 1 ， ∴ e ＝35. 例 4已知 F F2是橢圓的兩個焦點 ， P為橢圓上一點 ， ∠ F1PF2＝ 60176。 a,0)， (0， 177。 b) (0， 177。 .求橢圓的離心率的取值范圍 ． 題型四、離心率的取值范圍 解： 設(shè)橢囿方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) ，由余弦定理得 c o s 6 0 176。 | PF2| | PF1| | PF2| ＝4 b23，又 ∵ | PF1| 5 ( 4 m2－ 4) ＝ 1 6 ( 5 － m2) ． 當(dāng) Δ ＞ 0 ，即－ 5 ＜ m ＜ 5 時，方程 ③ 有兩個不同的實數(shù)根，代入 ① 可得到兩個不同的公共點坐標(biāo)，此時直線與橢囿相交；當(dāng) Δ ＝ 0 ，即 m ＝－ 5 或 m ＝ 5 時，方程 ③ 有兩個相等的實數(shù)根，代入 ① 可得到一個公共點坐標(biāo)，此時直線與橢囿相切；當(dāng) Δ ＜ 0 ，即m ＜－ 5 或 m ＞ 5 時，方程 ③ 沒有實數(shù)根，直線與橢囿相離． 變式訓(xùn)練 1 、 已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x＋ m . (1) 當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù) m 的取值范圍； (2 ) 求直線被橢圓截得的弦最長時直線的方程． 解 、 (1) 由??????? 4 x2＋ y2＝ 1 ，y ＝ x ＋ m .消去 y 得， 5 x2＋ 2 mx ＋m2－ 1 ＝ 0 ， ∵ 直線與橢圓有公共點， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20( m2－ 1) ≥ 0 ， 解得－52≤ m ≤52. ( 2 ) 設(shè)直線與橢囿交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ．由 ( 1 ) 知 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1＝ 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1＋ x2＝－25m ， x1x2＝m2－ 15. ∴ | AB | ＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2＝ ? x1－ x2?2＋ ? x1＋ m － x2－ m ?2 ＝ 2 ? x1－ x2?2＝ 2[ ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2] ＝ 2[4 m225－45? m2－ 1 ? ] ＝2510 － 8 m2. ∵ Δ ＝ 4 m2－ 2 0 ( m2－ 1 ) 0 ， ∴ －52 m 52. ∴ 當(dāng) m ＝ 0 時， | AB |最大，此時直線方程為 y ＝ x . 題型二、直線與橢圓相交問題 例 2 、 已知橢圓x236＋y29＝ 1 和點 P (4,2) ，直線 l經(jīng)過點 P 且與橢圓交于 A ， B 兩點． (1) 當(dāng)直線 l 的斜率為12時，求線段 AB 的長度； (2) 當(dāng) P 點恰好為線段 AB 的中點時，求 l 的方程． 解 ： ( 1) 由已知可得直線 l 的方程為 y － 2 ＝12( x － 4) ，即 y ＝12x . 由????? y ＝12x ，x236＋y29＝ 1 ，可得 x2－ 18 ＝ 0 ，若設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝ 0 ， x1x2＝－ 18. 于是 | AB | ＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2 ＝ ? x1－ x2?2＋14? x1－ x2?2 ＝52 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝52179。FP的最小值為 ( ) (A) 114 (B) 3 (C) 8 (D) 15 解 : 因為 a2=9 ,b2=5 , 所以 c2=a2 b2=4 . 所以 c =2 . 所以左焦點 F( 2,0 ) . 設(shè) P ( x0,y0), 則 209x+ 205y=1 , ① OP=( x0,y0), FP=( x0+2 ,y0), 所以O(shè)P178。 13 179。 k= 2mkm178。4 n13＋ m ，故 m ＝－413n ， ∴ n ＝－13 m4， ∴ －13
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