【正文】 FP=x0(x0+2 ) +20y, ② 由 得 :20y=5 5920x代入 得 :OP178。 ＝| PF1|2＋ | PF2|2－ | F1F2|22| PF1| | PF2|＝( | PF1| ＋ | PF2| )2－ 2| PF1| FP= 4920x+2 x0+5 = 49（ x0+94）2+114. 因?yàn)辄c(diǎn) P ( x0,y0) 在橢囿上 , 所以 3 ≤ x0≤ 3, 所以當(dāng) x0= 94時(shí) , OP178。FP的最小值為 ( ) (A) 114 (B) 3 (C) 8 (D) 15 解 : 因?yàn)?a2=9 ,b2=5 , 所以 c2=a2 b2=4 . 所以 c =2 . 所以左焦點(diǎn) F( 2,0 ) . 設(shè) P ( x0,y0), 則 209x+ 205y=1 , ① OP=( x0,y0), FP=( x0+2 ,y0), 所以O(shè)P178。 .求橢圓的離心率的取值范圍 ． 題型四、離心率的取值范圍 解： 設(shè)橢囿方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) ，由余弦定理得 c o s 6 0 176。 | PF2| － | F1F2|22| PF1| FP的最小值是 114. 故選 A. 例 4 、 已知橢圓x24＋y23＝ 1 ，試確定 m 的取值范圍，使得對(duì)于直線 y ＝ 4 x ＋ m ，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱． 題型四、求參數(shù)問題 解 、 解法一：設(shè) P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 為橢圓上關(guān)于直線 y ＝ 4 x＋ m 的對(duì)稱兩點(diǎn)， P ( x ， y ) 為中點(diǎn)，則 3 x21 ＋ 4 y21 ＝ 12 ， ① ； 3 x22 ＋4 y22 ＝ 12 ， ②① － ② 得： 3( x21 － x22 ) ＋ 4( y21 － y22 ) ＝ 0 ， 將 x 1 ＋ x 2 ＝2 x ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2 y ，y 1 － y 2x 1 － x 2＝ 4 代入得弦中點(diǎn)軌跡方程為 y ＝ 3 x . ③ 它與直線 y ＝ 4 x ＋ m 的交點(diǎn)必須在橢囿內(nèi)． 聯(lián)立????? y ＝ 3 xy ＝ 4 x ＋ m得，????? x ＝－ my ＝－ 3 m，則必須滿足m24＋9 m231 ， 解得－2 1313 m 2 1313. 解法二：假設(shè)具有對(duì)稱關(guān)系的兩點(diǎn)所在直線 l ′ 的方程為 y ＝－14x ＋ n ，代入橢囿方程中有 3 x2＋ 4( －14x ＋ n )2－ 12 ＝ 0 ，即 13 x2－8 nx ＋ 16 n2－ 48 ＝ 0. 若要橢囿上關(guān)于直線 l 對(duì)稱的不同兩點(diǎn)存在，則需 l ′ 與橢囿相交，且兩交點(diǎn) P 、 Q 到直線 l 的距離相等，即線段 PQ 的中點(diǎn) M 在直線 l 上， 故 Δ ＝ 64 n2－ 4 179。243＝303. 例 如圖所示 ， 已知橢圓 x2＋ 8y2＝ 8， 在橢圓上求一點(diǎn) P， 使 P到直線 l： x－ y＋ 4＝ 0的距離最小 ， 并求出最小值 ． 題型三、與橢圓有關(guān)的最值問題 解 ： 設(shè)與直線 x － y ＋ 4 ＝ 0 平行且與橢囿相切的直線為 x － y ＋ a＝ 0 ，由????? x2＋ 8 y2＝ 8x － y ＋ a ＝ 0得， 9 y2－ 2 ay ＋ a2－ 8 ＝ 0 ， Δ ＝ 4 a2－ 36( a2－ 8)＝ 0 ，解得 a ＝ 3 或 a ＝－ 3. 與直線 l 距離較近的切線方程為 x － y ＋ 3 ＝0. 最小距離為 d ＝|4 － 3|2＝22. 此時(shí)，由????? x2＋ 8 y2＝ 8x － y ＋ 3 ＝ 0得，????? x ＝－83，y ＝13. 即 P ( －83，13) ． 變式訓(xùn)練 3 、 若點(diǎn) O, F 分別為橢圓 29x +25y =1 的中心和左焦點(diǎn) , 點(diǎn) P為橢圓上任一點(diǎn) , 則OP178。 ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ， ∴ | BF 1 | ＝ c ，| BF 2 | ＝ 3 c ， 由橢囿定義得 | BF 1 | ＋ | BF 2 | ＝ 2 a ， 即 c ＋ 3 c ＝ 2 a ， ∴ca＝ 3 － 1. ∴ 橢囿的離心率 e ＝ 3 － 1. 變式訓(xùn)練 3（ 1） 如圖 ， 已知 F1為橢圓的左焦點(diǎn) ， A， B為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn) ， P為橢圓上的點(diǎn) ， 當(dāng) PF1⊥ F1A， PO∥ AB(O為中點(diǎn) )時(shí) ，則橢圓的離心率為 ________． 解 ： 由已知設(shè)橢囿方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，焦點(diǎn)為 F 1 ( － c, 0) ． ∵ PF 1 ⊥ F 1 A ， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( － c ，b2a) ． ∵ AB ∥ PO ， ∴ k AB ＝ k OP ，即－ba＝－b2ac， ∴ b ＝ c ， ∴ a2＝ 2 c2， ∴ e ＝ca＝22. （ 2 ）