高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊21橢圓2-文庫(kù)吧資料
2024-11-25 15:26本頁(yè)面
【正文】 則 0 e 1 ， e 越大， ∠ BF 2 O 越小，橢圓越扁； e 越小， ∠ BF 2 O 越大，橢圓越圓． 題型一 、 橢圓的幾何性質(zhì) 例 1 、 求橢圓 9 x2＋ 16 y2＝ 144 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解 ： 把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程x216＋y29＝ 1 ， 于是a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 16 － 9 ＝ 7 ， ∴ 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是 2 a ＝ 8 和 2 b ＝ 6 ，離心率 e＝ca＝74， 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 ( － 7 ， 0) ，( 7 ， 0) ， 四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 ( － 4,0) ， (4,0) ， (0 ，－ 3) ，(0,3) ． 變式訓(xùn)練 求橢圓 25x2＋ 16y2＝ 400的長(zhǎng)軸長(zhǎng) 、 短軸長(zhǎng) 、 離心率 、 焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo) ． 解 ： 將方程變形為y225＋x216＝ 1 ，得 a ＝ 5 ， b ＝ 4 ，所以 c ＝ 3 ，故橢囿的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別為 2 a ＝ 1 0 , 2 b ＝ 8 ，離心率 e ＝ca＝35，焦點(diǎn)坐標(biāo) F1(0 ，－ 3) ， F2( 0 , 3 ) ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A1(0 ，－ 5) ， A2( 0 , 5 ) ，B1( － 4 ， 0) ， B2( 4 , 0 ) ． 題型二 、 利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 、 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1) 橢圓過(guò)點(diǎn) (3,0) ，離心率 e ＝63； (2) 在 x 軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為 8. 解 ： ( 1 ) 若焦點(diǎn)在 x 軸上，則 a ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝63， ∴ c ＝ 6 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 9 － 6 ＝ 3. ∴ 橢囿的方程為x29＋y23＝ 1. 若焦點(diǎn)在 y 軸上，則 b ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝ 1 －b2a2＝ 1 －9a2＝63， 解得 a2＝ 2 7 . ∴ 橢囿的方程為y227＋x29＝ 1. 綜上可知橢囿方程為x29＋y23＝ 1 或y227＋x29＝ 1 . ( 2 ) 設(shè)橢囿的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ．如圖所示， △ A 1 FA 2 為等腰直角三角形， OF 為斜邊 A 1 A 2 的中線 ( 高 ) ，且 | OF | ＝ c ， | A 1 A 2 | ＝2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 4 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 32 ， 故所求橢囿的方程為x232＋y216＝ 1. 變式訓(xùn)練 2 、 離心率為35，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10 的橢圓方程為 ( ) A.x225＋y216＝ 1 B.x225＋y216＝ 1 或y225＋x216＝ 1 C.x21 0 0＋y264＝ 1 D.x21 0 0＋y264或y21 0 0＋x264＝ 1 解 ： 由題意得 2 a ＝ 10 ， a ＝ 5 ，ca＝35， ∴ c ＝ 3 ，∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 9 ＝ 16 ， 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，橢圓方程為x225＋y216＝ 1 ； 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，橢圓方程為y225＋y216＝ 1 ，故選 B. 題型三 、 求橢圓的離心率 例 3 、 A 為 y 軸上一點(diǎn)， F 1 、 F 2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， △ AF 1 F 2 為正三角形，且 AF 1 的中點(diǎn) B恰好在橢圓上，求此橢圓的離心率． 解 ： 如圖，連接 BF 2 . ∵△ AF 1 F 2 為正三角形，且 B 為線段 AF 1 的中點(diǎn)． ∴ F 2 B ⊥ BF 1 . 又 ∵∠ BF 2 F 1 ＝ 3 0 176。 b) (0， 177。一 、 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1 ．觀察橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的形狀，你能從圖中看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？ （ 1 ） 觀察橢圓的圖形可以發(fā)現(xiàn)，橢圓是 ____ 對(duì)稱(chēng)圖形，也是 ___ 對(duì)稱(chēng)圖形．事實(shí)上，在橢圓方程x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 中以 ____ 、 ____ 分別代替 ____ 、____ ，方程不變， ∴ 橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 既關(guān)于 ____ 對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于 ____ 對(duì)稱(chēng)，從而關(guān)于_______ 對(duì)稱(chēng)，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的________ ． 中心 軸 － x － y x y 中心 x軸 y軸 坐標(biāo)原點(diǎn) （ 2 ） 如圖，橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 與它的對(duì)稱(chēng)軸共有四個(gè)交點(diǎn)，即 A A2和 B B 2，這四個(gè)點(diǎn)叫做橢圓的 _____ ，線段 A1A2叫做橢圓的_____ ，它的長(zhǎng)等于 _____ ；線段 B1B2叫做橢圓的 _____ ，它的長(zhǎng)等于 _____ . 顯然，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在它的 _____ 上． 頂點(diǎn) 長(zhǎng)軸 2a 短軸 2b 長(zhǎng)軸 2． 觀察不同的橢圓可見(jiàn)它們的扁平程度不一樣 ， 哪些量影響其扁平程度 ？ 怎樣刻畫(huà) ？ 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的________． 離心率 3． 依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)填寫(xiě)下表：
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