高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊21橢圓2(已改無(wú)錯(cuò)字)
2022-12-30 15:26:45 本頁(yè)面
【正文】 ＝ x . 題型二、直線與橢圓相交問(wèn)題 例 2 、 已知橢圓x236＋y29＝ 1 和點(diǎn) P (4,2) ，直線 l經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 且與橢圓交于 A ， B 兩點(diǎn)． (1) 當(dāng)直線 l 的斜率為12時(shí)，求線段 AB 的長(zhǎng)度； (2) 當(dāng) P 點(diǎn)恰好為線段 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求 l 的方程． 解 ： ( 1) 由已知可得直線 l 的方程為 y － 2 ＝12( x － 4) ，即 y ＝12x . 由????? y ＝12x ，x236＋y29＝ 1 ，可得 x2－ 18 ＝ 0 ，若設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝ 0 ， x1x2＝－ 18. 于是 | AB | ＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2 ＝ ? x1－ x2?2＋14? x1－ x2?2 ＝52 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝52179。 6 2 ＝ 3 10 . 所以線段 AB 的長(zhǎng)度為 3 10 . ( 2 ) 法一 ：設(shè) l 的斜率為 k ，則其方程為 y － 2 ＝ k ( x － 4) ． 聯(lián)立????? x236＋y29＝ 1 ，y － 2 ＝ k ? x － 4 ? ，消去 y 得 (1 ＋ 4 k2) x2－ ( 3 2 k2－ 16 k ) x ＋ ( 6 4 k2－64 k － 2 0 ) ＝ 0. 若設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 x1＋ x2＝32 k2－ 16 k1 ＋ 4 k2， 由于 AB 的中點(diǎn)恰好為 P ( 4 , 2 ) ，所以x1＋ x22＝16 k2－ 8 k1 ＋ 4 k2＝ 4 ，解得 k ＝－12. 這時(shí)直線 l 的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ，即 y ＝－12x ＋ 4. 法二： 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則有??????? x2136＋y219＝ 1 ，x2236＋y229＝ 1 ， 兩式相減得x22－ x2136＋y22－ y219＝ 0. 由于 P ( 4 , 2 ) 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ x1＋ x2＝ 8 ， y1＋ y2＝ 4 ， 從而 ( x2－ x1) ＋ 2( y2－ y1) ＝ 0 ， kAB＝y(tǒng)2－ y1x2－ x1＝－12，于是直線 AB ，即為 l 的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ，即 y ＝－12x ＋ 4 . 變式訓(xùn)練 2 、 過(guò)點(diǎn) P ( － 1, 1) 的直線與橢圓x24＋y22＝ 1 交于 A ， B 兩點(diǎn)，若線段 AB 的中點(diǎn)恰為點(diǎn) P ，求 AB 所在的直線方程及弦長(zhǎng) | AB |. 解 ： 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由于 A ， B 兩點(diǎn)在橢囿上， ∴ x21＋ 2 y21＝4 ， x22＋ 2 y22＝ 4. 兩式相減，得 ( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ 2( y1－ y2)( y1＋ y2) ＝ 0 ① 顯然 x1≠ x2，故由 ① 得： kAB＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝－x1＋ x22 ? y1＋ y2?. ② 又點(diǎn) P ( －1,1) 是弦 AB 的中點(diǎn)， ∴ x1＋ x2＝－ 2 ， y1＋ y2＝ 2. ③ 把 ③ 代入 ② 得： kAB＝12， ∴ 直線 AB 的方程為 y － 1 ＝12( x ＋ 1) ，即 x －2 y ＋ 3 ＝ 0 由??????? x － 2 y ＋ 3 ＝ 0 ，x24＋y22＝ 1 ，消去 y 得 3 x2＋ 6 x ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ x1＋ x2＝－ 2 ， x1x2＝13， | AB | ＝ 1 ＋ k2 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝ 1 ＋14243＝303. 例 如圖所示 ， 已知橢圓 x2＋ 8y2＝ 8， 在橢圓上求一點(diǎn) P， 使 P到直線 l： x－ y＋ 4＝ 0的距離最小 ， 并求出最小值 ． 題型三、與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題 解 ： 設(shè)與直線 x － y ＋ 4 ＝ 0 平行且與橢囿相切的直線為 x － y ＋ a＝ 0 ，由????? x2＋ 8 y2＝ 8x － y ＋ a ＝ 0得， 9 y2－ 2 ay ＋ a2－ 8 ＝ 0 ， Δ ＝ 4 a2－ 36( a2－ 8)＝ 0 ，解得 a ＝ 3 或 a ＝－ 3. 與直線 l 距離較近的切線方程為 x － y ＋ 3 ＝0. 最小距離為 d ＝|4 － 3|2＝22. 此時(shí)，由????? x2＋ 8 y2＝ 8x － y
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