高教版中職數(shù)學拓展模塊21橢圓2-文庫吧在線文庫
【正文】 點． (1) 當直線 l 的斜率為12時，求線段 AB 的長度； (2) 當 P 點恰好為線段 AB 的中點時，求 l 的方程． 解 ： ( 1) 由已知可得直線 l 的方程為 y － 2 ＝12( x － 4) ，即 y ＝12x . 由????? y ＝12x ，x236＋y29＝ 1 ，可得 x2－ 18 ＝ 0 ，若設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝ 0 ， x1x2＝－ 18. 于是 | AB | ＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2 ＝ ? x1－ x2?2＋14? x1－ x2?2 ＝52 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝52179。 | PF2| | PF1| b) (0， 177。 ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ， ∴ | BF 1 | ＝ c ，| BF 2 | ＝ 3 c ， 由橢囿定義得 | BF 1 | ＋ | BF 2 | ＝ 2 a ， 即 c ＋ 3 c ＝ 2 a ， ∴ca＝ 3 － 1. ∴ 橢囿的離心率 e ＝ 3 － 1. 變式訓(xùn)練 3（ 1） 如圖 ， 已知 F1為橢圓的左焦點 ， A， B為橢圓的兩個頂點 ， P為橢圓上的點 ， 當 PF1⊥ F1A， PO∥ AB(O為中點 )時 ，則橢圓的離心率為 ________． 解 ： 由已知設(shè)橢囿方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，焦點為 F 1 ( － c, 0) ． ∵ PF 1 ⊥ F 1 A ， ∴ 點 P 的坐標為 ( － c ，b2a) ． ∵ AB ∥ PO ， ∴ k AB ＝ k OP ，即－ba＝－b2ac， ∴ b ＝ c ， ∴ a2＝ 2 c2， ∴ e ＝ca＝22. （ 2 ） 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 解 ： 由題意得 4 b ＝ 2 a ＋ 2 c ， ∴ 2 b ＝ a ＋ c ，即 4 b2＝a2＋ 2 ac ＋ c2， 又 ∵ b2＝ a2－ c2， ∴ 5 c2＋ 2 ac － 3 a2＝ 0 ， ∴ 5 e2＋ 2 e － 3 ＝ 0 ， ∵ 0 e 1 ， ∴ e ＝35. 例 4已知 F F2是橢圓的兩個焦點 ， P為橢圓上一點 ， ∠ F1PF2＝ 60176。 | PF2| ＝ 4 b2， ∴ | PF1| 243＝303. 例 如圖所示 ， 已知橢圓 x2＋ 8y2＝ 8， 在橢圓上求一點 P， 使 P到直線 l： x－ y＋ 4＝ 0的距離最小 ， 并求出最小值 ． 題型三、與橢圓有關(guān)的最值問題 解 ： 設(shè)與直線 x － y ＋ 4 ＝ 0 平行且與橢囿相切的直線為 x － y ＋ a＝ 0 ，由????? x2＋ 8 y2＝ 8x － y ＋ a ＝ 0得， 9 y2－ 2 ay ＋ a2－ 8 ＝ 0 ， Δ ＝ 4 a2－ 36( a2－ 8)＝ 0 ，解得 a ＝ 3 或 a ＝－ 3. 與直線 l 距離較近的切線方程為 x － y ＋ 3 ＝0. 最小距離為 d ＝|4 － 3|2＝22. 此時，由????? x2＋ 8 y2＝ 8x － y ＋ 3 ＝ 0得，????? x ＝－83，y ＝13. 即 P ( －83，13) ． 變式訓(xùn)練 3 、 若點 O, F 分別為橢圓 29x +25y =1 的中心和左焦點 , 點 P為橢圓上任一點 , 則OP178。 (2) 直線 l 不過原點 O 且不平行于坐標軸 ,l 與C 有兩個交點 A,B, 線段 AB 的中點為 M, 證明 :直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率乘積為定值 . (1) 解 : 由222 2 22,2421,caaba b c?????????????? 解得 a2= 8 , b2= 4 , 故橢囿 C 的方程為28x +24y = 1 . (2) 證明 : 由題設(shè)直線 l : y = k x + m ( k ≠ 0 , m ≠ 0 ) , A( x 1 ,y 1 ) , B ( x 2 ,y 2 ), 聯(lián)立22,2 8 0 ,y k x mxy?????? ? ???得 ( 1 + 2 k2)x2+ 4 k m x + 2 m2 8 = 0 , x 1 +x 2 = 2412kmk?,x 1 x 2 =222812mk??,y 1 +y 2 = k ( x 1 +x 2 ) + 2 m =2212mk?, 得 AB 中點 M （ 2212kmk?,212mk?） , 則直線 OM 與直線 l 斜率乘積為2212212mkkmk???178。FP的最小值是 114. 故選 A. 例 4 、 已知橢圓x24＋y23＝ 1 ，試確定 m 的取值范圍，使得對于直線 y
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