高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊21橢圓2(存儲(chǔ)版)
【正文】 率 e ＝63； (2) 在 x 軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為 8. 解 ： ( 1 ) 若焦點(diǎn)在 x 軸上，則 a ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝63， ∴ c ＝ 6 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 9 － 6 ＝ 3. ∴ 橢囿的方程為x29＋y23＝ 1. 若焦點(diǎn)在 y 軸上，則 b ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝ 1 －b2a2＝ 1 －9a2＝63， 解得 a2＝ 2 7 . ∴ 橢囿的方程為y227＋x29＝ 1. 綜上可知橢囿方程為x29＋y23＝ 1 或y227＋x29＝ 1 . ( 2 ) 設(shè)橢囿的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ．如圖所示， △ A 1 FA 2 為等腰直角三角形， OF 為斜邊 A 1 A 2 的中線 ( 高 ) ，且 | OF | ＝ c ， | A 1 A 2 | ＝2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 4 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 32 ， 故所求橢囿的方程為x232＋y216＝ 1. 變式訓(xùn)練 2 、 離心率為35，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10 的橢圓方程為 ( ) A.x225＋y216＝ 1 B.x225＋y216＝ 1 或y225＋x216＝ 1 C.x21 0 0＋y264＝ 1 D.x21 0 0＋y264或y21 0 0＋x264＝ 1 解 ： 由題意得 2 a ＝ 10 ， a ＝ 5 ，ca＝35， ∴ c ＝ 3 ，∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 9 ＝ 16 ， 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，橢圓方程為x225＋y216＝ 1 ； 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，橢圓方程為y225＋y216＝ 1 ，故選 B. 題型三 、 求橢圓的離心率 例 3 、 A 為 y 軸上一點(diǎn)， F 1 、 F 2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， △ AF 1 F 2 為正三角形，且 AF 1 的中點(diǎn) B恰好在橢圓上，求此橢圓的離心率． 解 ： 如圖，連接 BF 2 . ∵△ AF 1 F 2 為正三角形，且 B 為線段 AF 1 的中點(diǎn)． ∴ F 2 B ⊥ BF 1 . 又 ∵∠ BF 2 F 1 ＝ 3 0 176。 | PF2| － 4 c2， ∴ 3| PF1| ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝ 1 ＋144 n13＋ m ，故 m ＝－413n ， ∴ n ＝－13 m4， ∴ －132 －13 m4132， 即－2 1313 m 2 1313. 題型 五 、證明定值問(wèn)題 例 5 、 ( 20 15 高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ ) 已知橢圓C: 22xa+22yb= 1 ( a b 0 ) 的離心率為 22, 點(diǎn)(2,2) 在 C 上 .(1) 求 C 的方程 。 13 179。 5 ( 4 m2－ 4) ＝ 1 6 ( 5 － m2) ． 當(dāng) Δ ＞ 0 ，即－ 5 ＜ m ＜ 5 時(shí)，方程 ③ 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，代入 ① 可得到兩個(gè)不同的公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)直線與橢囿相交；當(dāng) Δ ＝ 0 ，即 m ＝－ 5 或 m ＝ 5 時(shí)，方程 ③ 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，代入 ① 可得到一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)直線與橢囿相切；當(dāng) Δ ＜ 0 ，即m ＜－ 5 或 m ＞ 5 時(shí)，方程 ③ 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，直線與橢囿相離． 變式訓(xùn)練 1 、 已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x＋ m . (1) 當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2 ) 求直線被橢圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)直線的方程． 解 、 (1) 由??????? 4 x2＋ y2＝ 1 ，y ＝ x ＋ m .消去 y 得， 5 x2＋ 2 mx ＋m2－ 1 ＝ 0 ， ∵ 直線與橢圓有公共點(diǎn)， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20( m2－ 1) ≥ 0 ， 解得－52≤ m ≤52. ( 2 ) 設(shè)直線與橢囿交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ．由 ( 1 ) 知 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1＝ 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1＋ x2＝－25m ， x1x2＝m2－ 15. ∴ | AB | ＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2＝ ? x1－ x2?2＋ ? x1＋ m － x2－ m ?2 ＝ 2 ? x1－ x2?2＝ 2[ ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2] ＝ 2[4 m225－45? m2－ 1 ? ] ＝2510 － 8 m2. ∵ Δ ＝ 4 m2－ 2 0 ( m2－ 1 ) 0 ， ∴ －52 m 52. ∴ 當(dāng) m ＝ 0 時(shí)， | AB |最大，此時(shí)直線方程為 y ＝ x . 題型二、直線與橢圓相交問(wèn)題 例 2 、 已知橢圓x236＋y29＝ 1 和點(diǎn) P (4,2) ，直線 l經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 且與橢圓交于 A ， B 兩
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